拉姆齊-卡斯-庫普曼斯模型

拉姆齊-卡斯-庫普曼斯模型，簡稱拉姆齊增長模型是新古典經濟學的一個經濟增長模型。

模型主要基於弗蘭克·普倫普頓·拉姆齊的研究，並由大衛·卡斯（David Cass）和佳林·庫普曼斯作出了重大擴展。拉姆齊-卡斯-庫普曼斯模型與索洛模型的區別在於，它從微觀基礎角度清晰地解釋了在時間上某點對於消費的選擇，所以可以將儲蓄內生化。因此，與索洛模型不同，儲蓄率在向穩態轉變的過程中並不是保持不變的。該模型還指出了另外一點，結果總是帕累托最優或者說是帕累托有效的。這一結果不僅僅因為儲蓄率被內生化了，還因為人在計劃水平線上無限的本能。它並不是因為有內生儲蓄率而超越於其他模型（如保羅·薩繆爾森和彼得·戴蒙德的世代交疊模型），還因為有著更複雜的跨期動態研究。

最初拉姆齊設計出這一模型，是為了解決中央計劃者如何在連續世代層面上最優化消費水平的問題。不久後這一模型作為分權式動態經濟的描述，也被後繼學者接納。

拉姆齊模型的相位圖。藍線代表著經濟的動態調整路徑，須同時滿足模型內的所有限制條件。這是一個動態系統的穩定路徑。紅線則代表著受橫截性條件限制的動態路徑。

主要等式

拉姆齊-卡斯-庫普曼斯模型主要有兩個等式。

第一個是資本積累的動態法則：

${\dot {k}}=f(k)-\delta \,k-c$

k是單位資本、${\dot {k}}$是時間方單位資本的變化量、c是單位消費、 f(k)是單位產出、$\delta \,$是資本的折舊率。這一等式簡單地表達了投資或者說單位資本的增量，是沒有被消費的那一部分產出，減去資本的折舊率。投資，也就因此等於儲蓄。

$I=sY$

I是投資水平，Y是收入水平，s是儲蓄率或者說是用於儲蓄的那部分占總收入的比例。

第二個等式考慮了家庭的儲蓄行為，並不像第一式那樣直觀。如果家庭想要最大化跨期消費，在時間線上的每一點都需要將今天消費的與未來消費的邊際效用進行比較。類似的，也要考慮未來消費的邊際收益和邊際成本。因為這是一個跨期問題，所以需要涉及速率相等而不是水平的問題。為什麼家庭偏好於現在而非在未來消費，主要有兩個原因。第一，他們會將未來的消費進行貼現。第二，因為效用函數為凹函數，家庭更偏好於一個光滑的消費曲線。一個遞增或者遞減的消費曲線，會降低在未來進行消費的效用。因此，下列等式表達了各種速率的最優關係：

儲蓄回報率 = 消費貼現率 − 邊際效用的變化率 × 消費的增長率

數學語言表示如下：

$r=\rho \ -\%dMU*{\dot {c}}\,$

一組與此模型穩態所需要的效用函數叫做恆定相對風險厭惡（CRRA）效用函數：

$u(c)={\frac {c^{1-\theta }-1}{1-\theta }}\,$

因此，我們可得：

$\%dMU={\frac {\frac {d^{2}u}{dc^{2}}}{\frac {du}{dc}}}=-{\frac {\theta }{c}}$

求解上述消費增長動態方程，可得：

${\frac {\dot {c}}{c}}={\frac {r-\rho }{\theta }}\,$

這就是模型的第二個重要動態方程，「歐拉方程」。

新古典生產函數是規模報酬不變的，所以利率r等於每個工人每份資本的邊際產出。以柯布-道格拉斯生產函數為例：

$y=k^{\alpha }\,$

代表毛利率：

$R=\alpha k^{\alpha -1}\,$

因此淨利率r

$r=R-\delta =\alpha k^{\alpha -1}-\delta \,$

令${\dot {k}}$以及${\dot {c}}$等於零，我們即可以獲得這一模型的穩態。

參見

• 拉姆齊問題

擴展閱讀

• Barro, Robert J.; Sala-i-Martin, Xavier. Growth Models with Consumer Optimization. Economic Growth Second. New York: McGraw-Hill. 2004: 85–142. ISBN 0-262-02553-1. 
• Blanchard, Olivier Jean; Fischer, Stanley. Consumption and Investment: Basic Infinite Horizon Models. Lectures on Macroeconomics. Cambridge: MIT Press. 1989: 37–89. ISBN 0-262-02283-4. 
• Dasgupta, Partha S.; Heal, Geoffrey M. Economic Theory and Exhaustible Resources. Cambridge, UK: Cambridge University Press. 1979. ISBN 0-7202-0312-0. 
• Romer, David. Infinite-Horizon and Overlapping-Generations Models. Advanced Macroeconomics Fourth. New York: McGraw-Hill. 2011: 49–77. ISBN 978-0-07-351137-5.