振盪 (數學)

數學中，函數或序列的振盪是用於量化序列或函數在接近無窮大或某一點時，其極值之間的變化程度的數字。與極限類似，有好幾種定義將這一隻管概念轉化為適合數學處理的形式：實數序列的振盪、實值函數在一點的振盪，以及函數在區間（或開集）上的振盪。

序列的振盪（藍色）是序列的上極限和下極限的差值。

定義

序列的振盪

令 $(a_{n})$ 為實數序列。則序列的 $\omega (a_{n})$ 振盪可定義為 $(a_{n})$ 的上下極限之間的差（可能是無窮大）：

\omega (a_{n})=\limsup _{n\to \infty }a_{n}-\liminf _{n\to \infty }a_{n}

.

若且唯若序列收斂時，振盪為零。若 $\limsup _{n\to \infty }$ 、 $\liminf _{n\to \infty }$ 都等於+∞或−∞，即序列趨近於+∞或−∞，則稱振盪未定義。

開集函數的振盪

令 $f$ 為實變量的實值函數，則 $f$ 在區間 $I$ 上的振盪是 $f$ 的上下確界之差：

\omega _{f}(I)=\sup _{x\in I}f(x)-\inf _{x\in I}f(x).

更一般地說，若 $f:X\to \mathbb {R}$ 是拓撲空間 $X$ （如度量空間）上的函數，則 $f$ 在開集 $U$ 上的振盪為

\omega _{f}(U)=\sup _{x\in U}f(x)-\inf _{x\in U}f(x).

函數在一點的振盪

實變函數 $f$ 在 $x_{0}$ 處的振盪定義為 $f$ 在 $x_{0}$ 的 $\epsilon$ 鄰域上的振盪在 $\epsilon \to 0$ 時的極限：

\omega _{f}(x_{0})=\lim _{\epsilon \to 0}\omega _{f}(x_{0}-\epsilon ,x_{0}+\epsilon ).

這等同於函數在 $x_{0}$ 處的上下極限之差，前提是 $x_{0}$ 不被排除在極限之外。

更一般地說，若 $f:X\to \mathbb {R}$ 是度量空間上的實值函數，則振盪為

\omega _{f}(x_{0})=\lim _{\epsilon \to 0}\omega _{f}(B_{\epsilon }(x_{0})).

示例

sin (1/x)（拓撲學家正弦曲線）在x = 0處的振盪為2，其他地方都是0。

${\frac {1}{x}}$ 在 $x=0$ 處有無窮大的振盪，其他地方均為0。
$\sin {\frac {1}{x}}$ （拓撲學家正弦曲線）在 $x=0$ 處的振盪為2，其他地方均為0。
$\sin x$ 在所有有限的 $x$ 處的振盪均為0，在−∞、+∞處為2。
$(-1)^{x}$ （1, -1, 1, -1, 1, -1...）的振盪為2。

最後一例的序列是周期的，而任何周期（非常值）序列的振盪必不是0。不過，非零振盪無法推出周期性。

從幾何角度看，實數振盪函數的圖形會沿著xy平面上的某條路徑運行，而不會收斂到越來越小的區域。在良態情況下，路徑可能看起來像一個循環，即周期性行為；在最糟糕的情況下，則是覆蓋整個區域的非常不規則的運動。

連續性

振盪可以用來定義函數的連續性，並且很容易等價於通常的ε-δ定義（對於定義在實線各處的函數）：若且唯若振盪為0時，函數ƒ在x₀處連續；^[1]用符號表示為 $\omega _{f}(x_{0})=0.$ 這個定義的好處在於量化了不連續性：振盪給出了函數在某點的不連續程度。

例如，在間斷點的分類中有：

可去間斷點的函數偏移值等于震蕩；
跳躍間斷點的函數跳躍值等于震蕩（假設該點的值位於兩側極限之間）；
第二類間斷點中，振盪衡量了極限不存在的程度。

描述集合論中，這個定義有助於研究間斷點和連續點的集合：連續點是振盪小於ε的集合的交集（於是是G_δ集），並給出了勒貝格可積條件一個方向的快速證明。^[2]

通過簡單的重排和極限（上極限和下極限）來定義振盪，可以等價於ε-δ定義：若（在某點）對給定的ε₀，沒有能滿足ε-δ條件的δ，則振盪大於等於ε₀；反之，若對每個ε都有能滿足的δ，則振盪為0。振盪定義可以自然地推廣到從拓撲空間到度量空間的映射。

推廣

更一般地，設f : X → Y是拓撲空間X到度量空間Y的函數，則f的振盪可定義在每個x ∈ X：

\omega (x)=\inf \left\{\mathrm {diam} (f(U))\mid U\mathrm {\ is\ a\ neighborhood\ of\ } x\right\}

另見

參考文獻

^ Introduction to Real Analysis （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）, updated April 2010, William F. Trench, Theorem 3.5.2, p. 172
^ Introduction to Real Analysis （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）, updated April 2010, William F. Trench, 3.5 "A More Advanced Look at the Existence of the Proper Riemann Integral", pp. 171–177

閱讀更多

Hewitt and Stromberg. Real and abstract analysis . Springer-Verlag. 1965: 78. ISBN 9780387901381.
Oxtoby, J. Measure and category 4th. Springer-Verlag. 1996: 31–35. ISBN 978-0-387-90508-2.
Pugh, C. C. Real mathematical analysis . New York: Springer. 2002: 164–165. ISBN 0-387-95297-7.

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