歐幾里得空間

歐幾里得空間是在約公元前300年，由古希臘數學家歐幾里得建立的角和空間中距離之間聯繫的法則。歐幾里得首先開發了處理平面上二維物體的「平面幾何」，他接著分析三維物體的「立體幾何」，所有歐幾里得的公理在幾何原本中都有所體現。

這些數學空間可以被擴展來應用於任何有限維度，而這種空間叫做 n維歐幾里得空間（甚至簡稱 $n$ 維空間）或有限維實內積空間。

這些數學空間還可被擴展到任意維的情形，稱為實內積空間（不一定完備），希爾伯特空間在高等代數教科書中也被稱為歐幾里得空間。為了開發更高維的歐幾里得空間，空間的性質必須非常仔細的表達並被擴展到任意維度。儘管結果的數學非常抽象，它卻呈現了我們熟悉的歐幾里得空間的根本本質，根本性質是它的平面性。另外也存在其他種類的空間，例如球面非歐幾里得空間，相對論所描述的四維時空在重力出現的時候也不是歐幾里得空間。

直覺概述

有一種方法論把歐幾里得平面看作滿足可依據距離和角表達的特定聯繫的點所成的集合。其一是平移，它意味著移動這個平面就使得所有點都以相同方向移動相同距離。其二是關於在這個平面中固定點的旋轉，其中在平面上的所有點關於這個固定點旋轉相同的角度。歐幾里得幾何的一個基本原則是，如果通過一序列的平移和旋轉可以把一個圖形轉換成另一個圖形，平面的兩個圖形（也就是子集）應被認為是等價的（全等）。（參見歐幾里得群）。

為了使這些在數學上精確，必須明確定義距離、角、平移和旋轉的概念。標準方式是定義歐幾里得平面為裝備了內積的二維實數的向量空間。有著:

在這個向量空間中的向量對應於在歐幾里得平面中的點，
在向量空間中的加法運算對應於平移，
內積蘊涵了角和距離的概念，它可被用來定義旋轉。

一旦歐幾里得平面用這種語言描述了，擴展它的概念到任意維度就是簡單的事情了。對於大多數部分，詞彙、公式、和計算對更高維的出現不造成任何困難。（但是，旋轉在高維中是非常微妙，而高維空間的可視化仍很困難，即使對有經驗的數學家也一樣）。

歐幾里得空間的最後問題是它在技術上不是向量空間，而是向量空間作用於其上仿射空間。直覺上，區別在於對於原點應當位於這個空間的什麼地方沒有標準選擇，因為它可以到處移動。這種技術本文中很大程度上被忽略了。

實數坐標空間

以 $\mathbb {R}$ 表示實數體。對任意一個正整數n，實數的n元組的全體構成了 $\mathbb {R}$ 上的一個n維度向量空間，用 $\mathbb {R} ^{n}$ 來表示。有時稱之為實數坐標空間。

$\mathbb {R} ^{n}$ 中的元素寫作 $X=(x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n})$ ，這裡的 $x_{i}$ 都是實數。 $\mathbb {R} ^{n}$ 作為向量空間，其運算是這樣定義的：

\mathbf {x} +\mathbf {y} =(x_{1}+y_{1},x_{2}+y_{2},\ldots ,x_{n}+y_{n})

a\,\mathbf {x} =(ax_{1},ax_{2},\ldots ,ax_{n})

通常引入實數坐標空間 $\mathbb {R} ^{n}$ 的標準正交基：

\mathbf {e} _{1}=(1,0,\ldots ,0)

\mathbf {e} _{2}=(0,1,\ldots ,0)

\vdots

\mathbf {e} _{n}=(0,0,\ldots ,1)

於是 $\mathbb {R} ^{n}$ 中任意的向量可以表示成下面的形式：

\mathbf {x} =\sum _{i=1}^{n}x_{i}\mathbf {e} _{i}

n維實數坐標空間是實n維向量空間的原型。事實上，每一個n維向量空間 $V\$ 都可以看作實數坐標空間—— $V\$ 與 $\mathbb {R} ^{n}$ 是同構的（isomorphic）。不過這個同構不是正則（Canonical）的，每個同構的選擇都相當於在 $V\$ 中選擇了一組基（即 $\mathbb {R} ^{n}$ 的n個標準基在 $V\$ 中的同構像）。我們有時候只著眼於任意n維向量空間而不是具體的 $\mathbb {R} ^{n}$ ，這是因為不希望為坐標的概念所束縛（即，有時候不必選擇 $V\$ 中特定的一組基）。

歐幾里得結構

至於歐幾里得空間，則是在 $\mathbb {R} ^{n}$ 上再添加一些內容：歐幾里得結構。
為了做歐氏幾何，人們希望能討論兩點間的距離，直線或向量間的夾角。一個自然的方法是在 $\mathbb {R} ^{n}$ 上，對任意兩個向量 $\mathbf {x}$ 、 $\mathbf {y}$ ，引入它們的「標準內積」 $<\mathbf {x} ,\mathbf {y} >$ （一些文獻上稱為點積，記為 $\mathbf {x} \cdot \mathbf {y}$ ）：

<\mathbf {x} ,\mathbf {y} >=\sum _{i=1}^{n}x_{i}y_{i}=x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+\cdots +x_{n}y_{n}

。

也就是說， $\mathbb {R} ^{n}$ 中的任意兩個向量對應著一個實數值。我們把 $\mathbb {R} ^{n}$ 及這樣定義的內積，稱為 $\mathbb {R} ^{n}$ 上的歐幾里得結構；此時的 $\mathbb {R} ^{n}$ 也被稱為n維歐幾里得空間，內積"<,>"稱為歐氏內積。

利用這個內積，可以建立距離、長度、角度等概念：

向量 $\mathbf {x}$ 的長度：

\|\mathbf {x} \|={\sqrt {<\mathbf {x} ,\mathbf {x} >}}={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}(x_{i})^{2}}}

這裡的長度函數滿足範數所需的性質，故又稱為 $\mathbb {R} ^{n}$ 上的歐氏範數。

$\mathbf {x}$ 和 $\mathbf {y}$ 所夾的內角以下列式子給出

\theta =\cos ^{-1}\left({\frac {<\mathbf {x} ,\mathbf {y} >}{\|\mathbf {x} \|\|\mathbf {y} \|}}\right)

這裡的 $\cos ^{-1}$ 為反餘弦函數。

最後，可以利用歐氏範數來定義 $\mathbb {R} ^{n}$ 上的距離函數，或稱度量：

d(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )=\|\mathbf {x} -\mathbf {y} \|={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-y_{i})^{2}}}

。

這個距離函數稱為歐幾里得度量，它可以看作畢氏定理一種形式。

這裡的 $\mathbb {R} ^{n}$ 僅指實數向量空間，而加入了如上定義的歐幾里得結構後才稱為歐氏空間；有些作者會用符號 $\mathbb {E} ^{n}$ 來標記之。歐氏結構使 $\mathbb {E} ^{n}$ 具有這些空間結構：內積空間、希爾伯特空間、賦範向量空間以及度量空間。

歐氏拓撲

因為歐氏空間是一個度量空間，因此也是一個具有由度量推導出的自然拓撲的拓撲空間。 $\mathbb {E} ^{n}$ 上的度量拓撲被稱為是歐氏拓撲。歐氏拓撲中的集是開的若且唯若它包含了該集的每一點周邊的開球。可以證明，歐氏拓撲等價於 $\mathbb {R} ^{n}$ 上的積拓撲。

關於 $\mathbb {R} ^{n}$ 上拓撲的一個並不淺顯易懂的重要結論是，魯伊茲·布勞威爾的區域不變性。任意 $\mathbb {R} ^{n}$ 的子集（以及其子拓撲）與另外一個 $\mathbb {R} ^{n}$ 的子集同胚的話，那麼這個子集自己是開的。這個結果的一個直接的結論就是 $\mathbb {R} ^{m}$ 與 $\mathbb {R} ^{n}$ 不同胚，當 $m\neq n$ 。

與流形的關係

在現代數學中，歐幾里得空間形成了其他更加複雜的幾何物件的原型。特別是流形，它是邏輯上同胚於歐幾里得空間的郝斯多夫拓撲空間。

$n$ 維歐氏空間是n維流形的典型例子，事實上也就是光滑流形。對於 $n\neq 4$ ，任意與 $\mathbb {R} ^{n}$ 同胚的可微n維流形，也是微分同胚的。值得驚奇的結果是，1982年西蒙·唐納森證明了對於 $n=4$ 的情況不成立；其反例被稱為是怪R⁴。

歐氏空間也被理解為線性流形。一個 $\mathbb {R} ^{n}$ 中的m維線性子流形是一個（作為仿射空間）嵌入其中的m維歐氏空間。例如，任意高維（ $n>1$ ）歐氏空間中的任意直線是該空間中的一個1維線性子流形。

一般的說，流形的概念包含了歐幾里得幾何和非歐幾里得幾何二者。在這個觀點上，歐幾里得空間的根本性質為它是平坦的，也就是非彎曲的。現代物理學特別是相對論，展示我們的宇宙不是真正的歐幾里得時空。儘管這在理論上甚至在某些實際問題如全球定位系統和航空中是重要的，歐幾里得模型仍足夠精確的用於大多數其他實際問題。

引用

Kelley, John L. General Topology. Springer-Verlag. 1975. ISBN 978-0-387-90125-1.
Munkres, James. Topology. Prentice-Hall. 1999. ISBN 978-0-13-181629-9.