比值審斂法
比值審斂法(Ratio test)是判別級數斂散性的一種方法,又稱為達朗貝爾判別法(D'Alembert's test)[1]。
定理
編輯設 為一級數,如果
,
- 當ρ<1時級數絕對收斂
- 當ρ>1時級數發散
- 當ρ=1時級數可能收斂也可能發散。
證明
編輯如果 ,那麼存在一個實數 以及一個正整數 ,滿足 ,使得當 時,總有 成立;因此在上述條件下,當 為正整數時有 ,於是根據無窮等比數列求和得出下式絕對收斂:
如果 ,那麼同樣存在一個正整數 ,使得當 時,總有 ,求和項的極限不為零,於是級數發散。
而當 時,以 與 為例,結果同樣為 ,但前者發散而後者收斂(後者收斂值為 ),該例子可以用比較審斂法來審斂。
例子
編輯收斂
編輯考慮級數
因此該級數收斂。
發散
編輯考慮級數
= = = = = =
因此該級數發散。
不能確定
編輯級數
發散,但
而級數
收斂,但
參見
編輯參考文獻
編輯- ^ 卓里奇, B.A. 数学分析 第7版. ISBN 9787040287554.