空間填充曲線

數學分析中，空間填充曲線是值域覆蓋了高維空間每一點的曲線，通常是單位正方形（或更一般的n維單位超方形）。由於朱塞佩·皮亞諾（1858–1932）首先發現了空間填充曲線，因此二維平面上的空間填充曲線有時也稱為皮亞諾曲線。這個術語也可以指皮亞諾發現的具體的曲線例子。

迭代前3次的皮亞諾曲線，其極限為空間填充曲線。

與之密切相關的FASS曲線（近似空間填充、自避、簡單、自相似曲線）可看作是某類空間填充曲線的有限近似。

定義

直觀地說，多維曲線可看作是連續運動點的軌跡。為消除這樣定義的模糊性，卡米爾·若爾當於1887年提出了以下的嚴格定義，後來一直是曲線的精確定義：

（有端點的）曲線是定義域為單位區間[0, 1]的連續函數。

在最一般的形式中，這種函數的值域可能位於任意拓撲空間；但在最常研究的形式中，其將位於歐幾里得空間，如2維平面（平面曲線）或3維空間（空間曲線）。

有時曲線是函數的像（函數所有可能取值的集合），而非函數本身。也可以把沒有端點的曲線定義為數線上的連續函數（或位於單位開區間(0, 1)）。

歷史

1890年，朱塞佩·皮亞諾發現了皮亞諾曲線，它可以經過單位正方形的每一點。格奧爾格·康托爾之前提出了一個反直覺的結論：單位區間中的無限多點與任意有限維流形的無限多點等勢。皮亞諾受到他的啟發，試圖構造一個從單位區間到單位正方形的連續函數。皮亞諾證明，這樣的映射可以是連續的，即一條能填充高維空間的曲線。不過，他沒有在單位區間和單位正方形之間建立連續雙射，事實上也不可能建立。

人們通常會把「薄」和「1維」這兩個模糊的概念同曲線聯繫起來；所有通常遇到的曲線也確實分段可微（即有分段連續導數），而這樣的曲線不能填滿單位正方形。因此，皮亞諾的空間填充曲線非常反直覺。

從皮亞諾的例子中，很容易推導出其範圍包含n維超方形的連續曲線。將皮亞諾的例子擴展到無端點連續曲線也很容易，可以填充整個n維歐幾里得空間I（n均為自然數）。

大多數知名的空間填充曲線都是分段線性函數的迭代序列極限。

皮亞諾的開創性文章沒有說明他的構造，其是用三進制和鏡像運算定義的。但他對圖形構造非常清楚——他在都靈的家中製作了一塊瓷磚，紋樣便是皮亞諾曲線。皮亞諾的文章最後還指出，除了三進制以外，這種技術還可以擴展到其他奇數進制。他迴避了任何無字證明的請求，因為他希望有一個完全嚴謹的證明，而不需要任何圖。當時的一般拓撲尚處於起步階段，圖形化的無字證明尚被學界所接受，但並不利於理解反直覺結論。

一年後，大衛·希爾伯特在同一刊物上發表了皮亞諾構造的變體。希爾伯特的文章包含了圖形證明，幫助讀者直觀了解構造方法，與此處的圖基本相同。然而希爾伯特曲線的解析形式比皮亞諾更複雜。

6次迭代的希爾伯特曲線。

空間填充曲線構造概要

令${\mathcal {C}}$表示康托爾空間$\mathbf {2} ^{\mathbb {N} }$。

我們從康托爾空間${\mathcal {C}}$到整個單位區間$[0,\,1]$的連續函數$h$開始（康托爾函數對康托爾集的約束就符合）。由此，可以得到從拓撲積${\mathcal {C}}\;\times \;{\mathcal {C}}$到整個單位正方形$[0,\,1]\;\times \;[0,\,1]$的連續函數$H$，方法是令

$$H(x,y)=(h(x),h(y)).\,$$

由於康托爾集與積${\mathcal {C}}\times {\mathcal {C}}$同胚，因此存在從康托爾集到${\mathcal {C}}\;\times \;{\mathcal {C}}$的連續雙射$g$。$H$、$g$組合為$f$，是將康托爾集映射到整個單位正方形上的連續函數（也可以利用每個緊度量空間都是康托爾集的連續像，得到函數$f$）。

最後，可以把$f$擴展為連續函數$F$，其定義域為單位區間$[0,\,1]$。要實現這一點，可以在$f$的組分上使用蒂茨擴張定理，或簡單地「線性」擴展$f$（即在構造康托爾集時刪除的每個開區間$(a,\,b)$上，定義$F$的擴展為單位正方形內連接$f(a)$、$f(b)$的線段）。

性質

迭代6次的Z階曲線和希爾伯特曲線（遞歸正方形分割中的4⁵=1024各單元），以RGB繪製每處的不同顏色，並使用Geohash標籤。相鄰的點有相似的顏色，不同曲線在小範圍內提供了不同的分組模式。

非單射曲線上有兩條相交子曲線，每條都從曲線定義域（單位線段）中兩個不相交線段的像得到。若兩條子曲線的交點非空，則相交。人們可能認為，曲線相交的意義在於必然相互交叉，就像兩條不平行直線的交點。不過，兩條曲線（或一條曲線的兩條子曲線）可以相互接觸而不相交，例如與圓相切的直線。

不自交連續曲線不能填充單位正方形，因為這會使曲線成為單位區間到單位正方形的同胚（任何緊空間到豪斯多夫空間的連續雙射都是同胚）。但單位正方形沒有切割點，因此與單位區間不同胚，因為單位區間除端點之外都是切割點。存在面積不為零的不自交曲線，例如奧斯古德曲線，但由內托定理，它們不是空間填充曲線。

對於經典皮亞諾和希爾伯特空間填充曲線，在兩條子曲線相交處，實際上有接觸而無交叉。空間填充曲線的近似曲線若自交叉，那麼將（處處）自交叉；空間填充曲線的近似也可以自避，如上圖所示。3維空間中，自避近似曲線甚至可以包含扭結。近似曲線會保持在n維空間的有界部分內，但長度可以無限增加。

空間填充曲線是分形曲線的特例。不存在可微的空間填充曲線。粗略地說，可微限制了曲線轉彎的速度。Michał Morayne證明，連續統假設等同於存在這樣的皮亞諾曲線：在實數軸的每一點上，至少有一個組分可微。

哈恩–馬祖爾克維奇定理

哈恩–馬祖爾克維奇定理是對曲線連續像的空間性質的描述：

非空豪斯多夫拓撲空間是單位區間上的連續像，若且唯若其是緊連通的局部連通第二可數空間。

單位區間的連續像有時也被稱為皮亞諾空間。

在哈恩-馬祖爾克維奇定理的許多表述中，「第二可數」等同於「可測」。在一個方向上，緊豪斯多夫空間就是正規空間；由烏雷松度量化定理，第二可數意味著可測。反過來說，緊度量空間是第二可數空間。

克萊因群

在雙重退化克萊因群理論中，有許多空間填充的自然例子。例如Cannon & Thurston (2007)指出，偽阿諾索夫映射環纖維的萬有覆疊空間在無窮遠處的圓是球面填充曲線（此處球面是雙曲3空間的無窮遠球面）。

積分

諾伯特·維納在《傅立葉積分及其部分應用》中指出，空間填充曲線可將高維勒貝格積分簡化為一維勒貝格積分。

另見

• 龍形曲線
• 高斯帕曲線
• 希爾伯特曲線
• 科赫曲線
• 摩爾曲線
• 皮亞諾曲線
• 謝爾賓斯基曲線
• 空間填充樹
• 希爾伯特R樹
• Bx樹
• Z階曲線
• 以豪斯多夫維度排序的分形列表

參考文獻

• Cannon, James W.; Thurston, William P., Group invariant Peano curves, Geometry & Topology, 2007, 11 (3): 1315–1355 [1982], ISSN 1465-3060, MR 2326947, doi:10.2140/gt.2007.11.1315  
• Hilbert, D., Ueber die stetige Abbildung einer Linie auf ein Flächenstück, Mathematische Annalen, 1891, 38 (3): 459–460 [2023-09-17], S2CID 123643081, doi:10.1007/BF01199431, （原始內容存檔於2021-12-31） （德語） 
• Mandelbrot, B. B., Ch. 7: Harnessing the Peano Monster Curves, The Fractal Geometry of Nature, W. H. Freeman, 1982 .
• McKenna, Douglas M., SquaRecurves, E-Tours, Eddies, and Frenzies: Basic Families of Peano Curves on the Square Grid, Guy, Richard K.; Woodrow, Robert E. (編), The Lighter Side of Mathematics: Proceedings of the Eugene Strens Memorial Conference on Recreational Mathematics and its History, Mathematical Association of America: 49–73, 1994, ISBN 978-0-88385-516-4 .
• Peano, G., Sur une courbe, qui remplit toute une aire plane, Mathematische Annalen, 1890, 36 (1): 157–160 [2023-09-17], S2CID 179177780, doi:10.1007/BF01199438, （原始內容存檔於2021-12-31） （法語） .
• Sagan, Hans, Space-Filling Curves, Universitext, Springer-Verlag, 1994, ISBN 0-387-94265-3, MR 1299533, doi:10.1007/978-1-4612-0871-6 .

外部連結

• Multidimensional Space-Filling Curves （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
• Proof of the existence of a bijection （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） at cut-the-knot

Java applets:

• Peano Plane Filling Curves （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） at cut-the-knot
• Hilbert's and Moore's Plane Filling Curves （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） at cut-the-knot
• All Peano Plane Filling Curves （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） at cut-the-knot