鉛垂線(英語:Plumb line),又稱垂線力線[1]:29,在大地測量學中指重力作用的方向線[2]:142[3]:8。鉛垂線與與重力矢量的方向處處相切,該方向又被稱為鉛垂方向,有時也直接以鉛垂線代稱。[4]:48-50重力場中,鉛垂線通常是曲線而非直線,彼此互不平行,與其經過的重力等位面正交[4]:50鉛垂線與參考橢球面法線之間的方向偏差被稱為垂線偏差[4]:83

橘紅色的橫向虛線為各重力等位面,其中加粗的為大地水準面(Geoid);陽橙色的縱向虛線為鉛垂線(true vertical),其與重力等位面正交

測量學中,鉛垂線是測量外業的基準線。[3]:8[5]

曲率

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由於在重力場中,除軸線外,同一直線上各點的重力矢量方向通常各不相同。因此,鉛垂線通常是一條具有曲率曲線。通過計算鉛垂線的曲率,可以將地形表面上進行的天文測量數據歸算到大地水準面上。[4]:53鉛垂線在某點處的曲率   可以通過該點處的重力矢量的大小   及其一階微分    得到:[4]:54

 

推導過程

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設鉛垂線的線元矢量為  ,重力矢量為  ,兩者間僅相差一個比例因子:[4]:53

 

根據微分幾何曲率的計算公式,鉛垂線投影在   平面上的曲率  

 

上式的二階微分可由重力位  偏微分得到:

 

取沿向上的鉛垂方向為   軸正向,建立局部坐標框架。此時重力位    平面的微分為零,即

 

將上式代入曲率   的計算公式,得:

 

其中,重力位沿   軸方向的微分  . 其中   為重力矢量的大小,即  . 則重力位的微分可替換為重力矢量大小的微分:[4]:54

 

同理可證,鉛垂線投影在   平面上的曲率  

 

由於鉛垂線與   軸在上述定義的局部坐標框架相切,即鉛垂線投影在   平面上的曲率為零,再由總曲率的計算公式可以得到:[4]:54

 

參考文獻

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  1. ^ 孔祥元; 郭際明; 劉宗泉. 大地测量学基础. 武漢大學出版社. 2001. ISBN 978-7-30-707562-7. 
  2. ^ Lu, Zhiping; Qu, Yunying; Qiao, Shubo. Geodesy: Introduction to Geodetic Datum and Geodetic Systems. Springer. 2014-05-23 [2020-04-05]. ISBN 978-3-642-41245-5. (原始內容存檔於2020-06-12) (英語). 
  3. ^ 3.0 3.1 现代普通测量学. 清華大學出版社有限公司. 2001: 8 [2020-04-05]. ISBN 978-7-302-04717-9. (原始內容存檔於2020-06-12) (中文). 
  4. ^ 4.0 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 San Francisco W. H. Freeman and Company. Heiskanen Moritz 1967 Physical Geodesy. San Francisco: W. H. Freeman and Company. 1967. 
  5. ^ 潘正風; 程效軍; 成樞; 王騰軍; 翟翊. 数字地形测量学. 武漢大學出版社. 2015-07-01. ISBN 978-7-307-15677-7.