N ⊆ Z ⊆ Q ⊆ R ⊆ C {\displaystyle \mathbb {N} \subseteq \mathbb {Z} \subseteq \mathbb {Q} \subseteq \mathbb {R} \subseteq \mathbb {C} }
正數 R + {\displaystyle \mathbb {R} ^{+}} 自然數 N {\displaystyle \mathbb {N} } 正整數 Z + {\displaystyle \mathbb {Z} ^{+}} 小數 有限小數 無限小數 循環小數 有理數 Q {\displaystyle \mathbb {Q} } 代數數 A {\displaystyle \mathbb {A} } 實數 R {\displaystyle \mathbb {R} } 複數 C {\displaystyle \mathbb {C} } 高斯整數 Z [ i ] {\displaystyle \mathbb {Z} [i]}
負數 R − {\displaystyle \mathbb {R} ^{-}} 整數 Z {\displaystyle \mathbb {Z} } 負整數 Z − {\displaystyle \mathbb {Z} ^{-}} 分數 單位分數 二進分數 規矩數 無理數 超越數 虛數 I {\displaystyle \mathbb {I} } 二次無理數 艾森斯坦整數 Z [ ω ] {\displaystyle \mathbb {Z} [\omega ]}
二元數 四元數 H {\displaystyle \mathbb {H} } 八元數 O {\displaystyle \mathbb {O} } 十六元數 S {\displaystyle \mathbb {S} } 超實數 ∗ R {\displaystyle ^{*}\mathbb {R} } 大實數 上超實數
雙曲複數 雙複數 複四元數 共四元數（英語：Dual quaternion） 超複數 超數 超現實數
質數 P {\displaystyle \mathbb {P} } 可計算數 基數 阿列夫數 同餘 整數數列 公稱值
規矩數 可定義數 序數 超限數 p進數 數學常數
圓周率 π = 3.14159265 {\displaystyle \pi =3.14159265} … 自然對數的底 e = 2.718281828 {\displaystyle e=2.718281828} … 虛數單位 i = − 1 {\displaystyle i={\sqrt {-{1}}}} 無限大 ∞ {\displaystyle \infty }
雙複數是擁有以下形式的超複數：
而 i j = j i = k , i 2 = − 1 , j 2 = − 1. {\displaystyle ij=ji=k,\quad i^{2}=-1,\quad j^{2}=-1.}
在雙複數 t = w + x i + y j + z k , {\displaystyle t=w+xi+yj+zk,\ } 中，請注意由於ij=k，所以 t = ( w + x i ) + ( y + z i ) j {\displaystyle t=(w+xi)+(y+zi)j\ } 。 這映射
是一個以2x2的複數矩陣組成的雙複數的線性表示方式。
例如，ik = i(ij) = (ii)j = −j的線性表示法是
請注意這代數矩陣與其他代數矩陣的分別是：這代數矩陣是一個可交換的代數矩陣。
中，請注意由於ij=k，所以
。
這映射
。
![{\displaystyle \mathbb {Z} [i]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ffa94e9e2e6d9e5e5373d5fafb954b902743fde)
![{\displaystyle \mathbb {Z} [\omega ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ae955a9a0d0f342fc73aaafe28af604d23267f7)
