高斯判別法

高斯判別法是正項級數斂散性的一種判別方法，方法是將級數相鄰項的比（${\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}$）寫成${\frac {1}{n}}$的線性函數和餘項（與有界量相乘的${\frac {1}{n^{2}}}$）之和，分析各係數來判斷級數收斂與否，可以視作達朗貝爾判別法、拉阿伯判別法和貝特朗判別法的推論。

定理

設$\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$是要判斷審斂性的級數，其中（至少從某一項開始）$a_{n}>0$。倘若其相鄰項比值${\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}$可以被表示為：

${\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}=\lambda +{\frac {\mu }{n}}+{\frac {\theta _{n}}{n^{2}}}$

其中$\lambda$和$\mu$都是常數，而$\theta _{n}$是一個有界的序列，那麼 ：

• 當 $\lambda >1$或$\lambda =1,\mu >1$時，級數收斂；
• 當$\lambda <1$或$\lambda =1,\mu \leq 1$時，級數發散。

證明：
$\lambda \neq 1$時，因$\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}={\frac {1}{\lambda }}$，可用達朗貝爾判別法判別； $\lambda =1$而$\mu \neq 1$時，因$\lim _{n\to \infty }{n({\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}-1)}=\mu$，可用拉阿伯判別法判別； $\lambda =\mu =1$時，因$\lim _{n\to \infty }{\ln {({\frac {n^{2}a_{n}}{a_{n+1}}}-n^{2}-n)}}=\lim _{n\to \infty }{{\frac {\ln {n}}{n}}\theta _{n}}=0$，依據貝特朗判別法，級數發散。