九点圆定理指出:在平面中,對所有三角形,其三邊的中點、三高的垂足、頂點到垂心的三條線段的中點,必然共圆,这个圆被称为九點圓,又称歐拉圓、費爾巴哈圓。
九點圓
九點圓具有以下性質:
1765年,萊昂哈德·歐拉證明:「垂心三角形和垂足三角形有共同的外接圓(六點圓)。」許多人誤以為九點圓是由歐拉發現所以又稱乎此圓為歐拉圓。而第一個證明九點圓的人是彭賽列(1821年)。1822年,卡尔·威廉·費爾巴哈也發現了九點圓,並得出「九點圓和三角形的內切圓和旁切圓相切」,因此德國人稱此圓為費爾巴哈圓,並稱這四個切點為費爾巴哈點。柯立芝與大上茂喬(Shigetaka Ooue)[1]分別於1910年與1916年發表「圓周上四點任取三點做三角形,四個三角形的九點圓圓心共圓。」這個圓還被稱為四邊形的九點圓,此結果還可推廣到n邊形。
九點圓的半徑是外接圓的一半,且九點圓平分垂心與外接圓上的任一點的連線。
- 在直角坐標系中,已知圓的方程為 ,其中 為圓的半徑, 為圓的圓心坐標。若做圓上三點與點 的中點的軌跡,則此軌跡的方程式為:
-
- 設 為外接圓的半徑、 為外接圓的圓心坐標、點 為垂心坐標。
- 已知九點圓通過頂點到垂心的三條線段的中點,故此軌跡圓就是九點圓,半徑是外接圓的一半,且平分垂心與外接圓上的任一點的連線。
- 同時還可以得出下面的性質:
- 圓心在歐拉線上,且在垂心到外心的線段的中點。由此可知,給定三角形頂點座標,九點圓圓心為
- 圓周上四點任取三點做三角形,四個三角形的九點圓圓心共圓。
- 垂心四面体的12点共球九点圆是垂心四面体各棱的中点和垂足(相对于对棱)共球的特例,两者是同构的
- 主旁心三角形的九點圓是三角形的外接圓
- 中點三角形的外接圓是三角形的九點圓
- 三線坐標中,九點圓的座標為
- 三線坐標中,費爾巴哈點的座標為