反餘切 反餘切函數有多種定義方式 綠色 反函數 [ 函數 1] 藍色 同界角 [ 函數 2] 紅色 複變分析 反餘切實數 部[ 函數 3] 性質 奇偶性 非奇 非偶 定義域 實數 集 到達域
[
0
,
π
]
{\displaystyle [0,\pi ]}
[ 函數 2]
[
0
,
180
∘
]
{\displaystyle [0,180^{\circ }]}
[ 函數 2]
(
−
π
2
,
π
2
]
{\displaystyle (-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}]}
[ 函數 3]
(
−
90
∘
,
90
∘
]
{\displaystyle (-90^{\circ },90^{\circ }]}
[ 函數 3] 周期 N/A 特定值 當x=0
π
2
{\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}
當x=+∞ 0 當x=-∞
π
{\displaystyle \pi }
[ 函數 2] [ 函數 2] [ 函數 3] 其他性質 渐近线
y
=
0
,
y
=
π
{\displaystyle {y=0,y=\pi }}
[ 函數 2]
y
=
0
,
y
=
180
∘
{\displaystyle {y=0,y=180^{\circ }}}
[ 函數 2]
y
=
0
{\displaystyle y=0}
[ 函數 3] 根 無窮大 拐點
(
0
,
π
2
)
{\displaystyle (0,{\frac {\pi }{2}})}
[ 函數 2]
(
0
,
90
∘
)
{\displaystyle (0,90^{\circ })}
[ 函數 2] 不動點 0.86033358901938...[ 函數 2] [ 註 1] ±0.86033358901938... [ 函數 3]
反餘切 （英語：arccotangent [ 3]
arccot
{\displaystyle \operatorname {arccot} }
[ 4] [ 5] [ 6] arcctg [ 7] ACOT [ 8]
cot
−
1
{\displaystyle \cot ^{-1}}
[ 1] 逆餘切 ，是一種反三角函數 [ 9] [ 2] 三角函數 為餘切函數 ，是利用已知直角三角形 的鄰邊和對邊這兩條直角邊 長度的比值 求出其夾角 大小的函數 ，但其輸入值和反正切 的輸入值互為倒數 ，是高等數學 中的一種基本特殊函數 。
反餘切 可以視為餘切 的反函數 ，但餘切函數 是周期函數 且在實數 上不具有一一對應的關係，所以不存在反函數 ，但也可以視為多值函数 [ 函數 1] [ 1] 限制 餘切函數的定義域 使其成為單射 和滿射 也是可逆 的。
一般最常見的方式是限制餘切函數 的定義域 在0 到π [ 10] [ 1] [ 11] 奇函数 也不是偶函数 ，而是一個單調遞減 的有界函數 [ 12] 最大值 為
π
{\displaystyle \pi }
最小值 為0且函數連續 ，但有兩條漸近線 。
另外一種定義方式是限制餘切函數 的定義域 在
±
π
2
{\displaystyle \pm {\frac {\pi }{2}}}
[ 13] [ 14] 反正切 相同，此時反餘切函數是奇函數 ，值域與其他相關性質皆與反正切類似，但函數並不連續。
由於餘切是周期函數，而上述二種定義方式皆是取餘切的一個週期，因此其定義域皆為實數 集 。但當將反餘切函數擴展至複數 時，會採用後者的定義方式[ 4]
但由於複變分析 的定義方式會造成函數不連續[ 函數 3]
x
=
0
{\displaystyle x=0}
斷點 ，因此應用在測量學 上時會採用取最小同界角 的方式[ 函數 2] [ 15]
反餘切函數經常記為
cot
−
1
{\displaystyle \cot ^{-1}}
[ 1]
arccot
{\displaystyle \operatorname {arccot} }
[ 16] [ 4] [ 5] [ 6] ISO 31 -11，應將反餘切函數記為
arccot
{\displaystyle \operatorname {arccot} }
cot
−
1
{\displaystyle \cot ^{-1}}
1
cot
{\displaystyle {\frac {1}{\cot }}}
1
cot
{\displaystyle {\frac {1}{\cot }}}
正切函數 。
反餘切 表示餘切的反函數，因此是一個多值函數[ 1]
將餘切函數 限制在
[
0
,
π
]
{\displaystyle [0,\pi ]}
反函數 [ 1]
將餘切函數 限制在
(
−
π
2
,
π
2
]
{\displaystyle (-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}]}
(
−
90
∘
,
90
∘
]
{\displaystyle (-90^{\circ },90^{\circ }]}
反函數 [ 2] 在複變分析中則是採用第二種定義延伸至複數[ 4]
arccot
x
=
i
2
[
ln
(
x
−
i
x
)
−
ln
(
x
+
i
x
)
]
{\displaystyle \operatorname {arccot} x={\frac {i}{2}}\left[\ln \left({\frac {x-i}{x}}\right)-\ln \left({\frac {x+i}{x}}\right)\right]}
這個動作使反餘切被推廣到複數 。
拓展到複數的反餘切函數
此外，反餘切函數[ 函數 3] [ 2]
arccot
(
x
)
=
cot
−
1
(
x
)
=
{
sec
−
1
(
x
2
+
1
x
)
−
π
,
for
x
<
0
sec
−
1
(
x
2
+
1
x
)
,
for
x
>
0
=
{
−
π
2
−
tan
−
1
x
,
for
x
<
0
π
2
−
tan
−
1
x
,
for
x
>
0
∨
x
=
0
=
{
−
sin
−
1
(
1
x
2
+
1
)
,
for
x
<
0
sin
−
1
(
1
x
2
+
1
)
,
for
x
>
0
=
{
−
csc
−
1
(
x
2
+
1
)
,
for
x
<
0
csc
−
1
(
x
2
+
1
)
,
for
x
>
0
=
{
−
cos
−
1
(
x
2
+
1
x
)
−
π
,
for
x
<
0
cos
−
1
(
x
2
+
1
x
)
,
for
x
>
0
=
{
−
π
2
−
sin
−
1
(
1
x
2
+
1
)
,
for
x
<
0
π
2
−
sin
−
1
(
1
x
2
+
1
)
,
for
x
>
0
{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arccot}(x)=\cot ^{-1}(x)&={\begin{cases}\sec ^{-1}\left({\frac {\sqrt {x^{2}+1}}{x}}\right)-\pi ,&{\mbox{for }}x<0\\\sec ^{-1}\left({\frac {\sqrt {x^{2}+1}}{x}}\right),&{\mbox{for }}x>0\end{cases}}={\begin{cases}-{\frac {\pi }{2}}-\tan ^{-1}x,&{\mbox{for }}x<0\\{\frac {\pi }{2}}-\tan ^{-1}x,&{\mbox{for }}x>0\lor x=0\end{cases}}\\&={\begin{cases}-\sin ^{-1}\left({\frac {1}{\sqrt {x^{2}+1}}}\right),&{\mbox{for }}x<0\\\sin ^{-1}\left({\frac {1}{\sqrt {x^{2}+1}}}\right),&{\mbox{for }}x>0\end{cases}}={\begin{cases}-\csc ^{-1}\left({\sqrt {x^{2}+1}}\right),&{\mbox{for }}x<0\\\csc ^{-1}\left({\sqrt {x^{2}+1}}\right),&{\mbox{for }}x>0\end{cases}}\\&={\begin{cases}-\cos ^{-1}\left({\frac {\sqrt {x^{2}+1}}{x}}\right)-\pi ,&{\mbox{for }}x<0\\\cos ^{-1}\left({\frac {\sqrt {x^{2}+1}}{x}}\right),&{\mbox{for }}x>0\end{cases}}={\begin{cases}-{\frac {\pi }{2}}-\sin ^{-1}\left({\frac {1}{\sqrt {x^{2}+1}}}\right),&{\mbox{for }}x<0\\{\frac {\pi }{2}}-\sin ^{-1}\left({\frac {1}{\sqrt {x^{2}+1}}}\right),&{\mbox{for }}x>0\end{cases}}\\\end{aligned}}}
在直角坐標系 中，反餘切函數可以視為已知直線 垂線斜率 的傾角，但是有可能差一個負號。
反餘切函數可以使用無窮級數 定義：
arccot
z
=
π
2
−
arctan
z
=
π
2
−
(
z
−
z
3
3
+
z
5
5
−
z
7
7
+
⋯
)
=
π
2
−
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
z
2
n
+
1
2
n
+
1
;
|
z
|
≤
1
z
≠
i
,
−
i
{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arccot} z&{}={\frac {\pi }{2}}-\arctan z\\&{}={\frac {\pi }{2}}-(z-{\frac {z^{3}}{3}}+{\frac {z^{5}}{5}}-{\frac {z^{7}}{7}}+\cdots )\\&{}={\frac {\pi }{2}}-\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}z^{2n+1}}{2n+1}};\qquad |z|\leq 1\qquad z\neq i,-i\end{aligned}}}
[ 函數 2] 對
x
>
0
{\displaystyle x>0}
[ 函數 3] [ 17]
arccot
x
=
π
2
−
∑
k
=
0
∞
(
−
1
)
k
x
2
k
+
1
2
k
+
1
=
π
2
−
x
+
x
3
3
−
x
5
5
+
x
7
7
−
⋯
{\displaystyle \operatorname {arccot} x={\frac {\pi }{2}}-\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {x^{2k+1}}{2k+1}}={\frac {\pi }{2}}-x+{\frac {x^{3}}{3}}-{\frac {x^{5}}{5}}+{\frac {x^{7}}{7}}-\cdots }
以上等式也可以直接用來表示取最小同界角 的反餘切函數[ 函數 2]
也可以用當
z
=
∞
{\displaystyle z=\infty }
洛朗級數 來定義，對應
|
z
|
>
1
{\displaystyle \left|z\right|>1}
arccot
z
=
∑
k
=
0
∞
(
−
1
)
k
z
−
(
2
k
+
1
)
2
k
+
1
=
1
z
−
1
3
x
3
+
1
5
x
5
−
1
7
x
7
+
1
9
x
9
−
⋯
{\displaystyle \operatorname {arccot} z=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {z^{-(2k+1)}}{2k+1}}={\frac {1}{z}}-{\frac {1}{3x^{3}}}+{\frac {1}{5x^{5}}}-{\frac {1}{7x^{7}}}+{\frac {1}{9x^{9}}}-\cdots }
[ 函數 3] 此外也有歐拉 導出的無窮級數[ 18]
arccot
(
z
)
=
cot
−
1
(
z
)
=
z
∑
n
=
1
∞
(
2
n
−
2
)
!
!
(
2
n
−
1
)
!
!
(
z
2
+
1
)
n
{\displaystyle \operatorname {arccot}(z)=\cot ^{-1}(z)=z\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(2n-2)!!}{(2n-1)!!\left(z^{2}+1\right)^{n}}}}
[ 函數 3]
下面恒等式均适用于函数2（取最小同界角的反余切函数） [ 函數 2]
arccot
x
=
π
2
−
arctan
x
{\displaystyle \operatorname {arccot} x={\frac {\pi }{2}}-\arctan x}
arccot
(
−
x
)
=
π
−
arccot
x
{\displaystyle \operatorname {arccot}(-x)=\pi -\operatorname {arccot} x\!}
arccot
1
x
=
π
2
−
arccot
x
=
arctan
x
,
{\displaystyle \operatorname {arccot} {\frac {1}{x}}={\frac {\pi }{2}}-\operatorname {arccot} x=\arctan x,\ }
x
>
0
{\displaystyle \ x>0}
arccot
1
x
=
3
π
2
−
arccot
x
=
π
+
arctan
x
,
{\displaystyle \operatorname {arccot} {\frac {1}{x}}={\frac {3\pi }{2}}-\operatorname {arccot} x=\pi +\arctan x,\ }
x
<
0
{\displaystyle \ x<0}
arccot
x
+
arccot
y
=
arccot
x
y
−
1
x
+
y
,
x
>
−
y
{\displaystyle \operatorname {arccot} x+\operatorname {arccot} y=\operatorname {arccot} {\frac {xy-1}{x+y}},x>-y}
arccot
x
+
arccot
y
=
arccot
x
y
−
1
x
+
y
+
π
,
x
<
−
y
{\displaystyle \operatorname {arccot} x+\operatorname {arccot} y=\operatorname {arccot} {\frac {xy-1}{x+y}}+\pi ,x<-y}
arctan
x
+
arccot
x
=
π
2
{\displaystyle \arctan x+\operatorname {arccot} x={\frac {\pi }{2}}}
∫
arccot
x
c
d
x
=
x
arccot
x
c
+
c
2
ln
(
c
2
+
x
2
)
{\displaystyle \int \operatorname {arccot} {\frac {x}{c}}\ dx=x\operatorname {arccot} {\frac {x}{c}}+{\frac {c}{2}}\ln(c^{2}+x^{2})}
∫
x
arccot
x
c
d
x
=
c
2
+
x
2
2
arccot
x
c
+
c
x
2
{\displaystyle \int x\operatorname {arccot} {\frac {x}{c}}\ dx={\frac {c^{2}+x^{2}}{2}}\operatorname {arccot} {\frac {x}{c}}+{\frac {cx}{2}}}
∫
x
2
arccot
x
c
d
x
=
x
3
3
arccot
x
c
+
c
x
2
6
−
c
3
6
ln
(
c
2
+
x
2
)
{\displaystyle \int x^{2}\operatorname {arccot} {\frac {x}{c}}\ dx={\frac {x^{3}}{3}}\operatorname {arccot} {\frac {x}{c}}+{\frac {cx^{2}}{6}}-{\frac {c^{3}}{6}}\ln(c^{2}+x^{2})}
∫
x
n
arccot
x
c
d
x
=
x
n
+
1
n
+
1
arccot
x
c
+
c
n
+
1
∫
x
n
+
1
c
2
+
x
2
d
x
,
n
≠
1
{\displaystyle \int x^{n}\operatorname {arccot} {\frac {x}{c}}\ dx={\frac {x^{n+1}}{n+1}}\operatorname {arccot} {\frac {x}{c}}+{\frac {c}{n+1}}\int {\frac {x^{n+1}}{c^{2}+x^{2}}}\ dx,\quad n\neq 1}
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![{\displaystyle [0,\pi ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e2a912eda6ef1afe46a81b518fe9da64a832751)
![{\displaystyle [0,180^{\circ }]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d1a22dc4758c76bc17559be79e50eec36b292c33)
![{\displaystyle (-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a91a44d576e5cafae20687acc5b488948b4f6143)
![{\displaystyle (-90^{\circ },90^{\circ }]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/14f9812826a015ccca5d98ad77828227b2c1304c)
![{\displaystyle \operatorname {arccot} x={\frac {i}{2}}\left[\ln \left({\frac {x-i}{x}}\right)-\ln \left({\frac {x+i}{x}}\right)\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e9236be612d7c5c872e9b2a46049ffafddc9c0e2)
