廣義動量

拉格朗日力學與哈密頓力學時常涉及廣義動量。這是因為採用廣義坐標有許多優點。而廣義動量是正則共軛於廣義坐標的物理量，又稱為共軛動量。

假設一個物理系統的廣義坐標是 $(q_{1},\ q_{2},\ q_{3},\ \dots ,\ q_{N})\,\!$ ，則廣義速度為 $({\dot {q}}_{1},\ {\dot {q}}_{2},\ {\dot {q}}_{3},\ \dots ,\ {\dot {q}}_{N})\,\!$ 。表示廣義動量為 $(p_{1},\ p_{2},\ p_{3},\ \dots ,\ p_{N})\,\!$ 。定義廣義動量為拉格朗日量 ${\mathcal {L}}\,\!$ 隨廣義速度的導數：

$p_{k}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {q}}_{k}}}\,\!$ ；

廣義動量守恆定律

如果一個物理系統是單演系統與完整系統，那麼，哈密頓原理保證拉格朗日方程式的成立：

${\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {q}}_{k}}}\right)-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial q_{k}}}=0\,\!$ 。

假若，${\mathcal {L}}\,\!$ 不顯含廣義坐標 $q_{k}\,\!$ ：

${\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial q_{k}}}=0\,\!$ ，

則廣義動量 $p_{k}\,\!$ 是常數。在此種狀況，坐標 $q_{k}\,\!$ 稱為循環坐標，或可略坐標。舉例而言，如果我們用圓柱坐標 $(r,\ \theta ,\ h)\,\!$ 來描述一個粒子的運動，而 ${\mathcal {L}}\,\!$ 與 $\theta \,\!$ 無關，則廣義動量是守恆的角動量。

參閱

• 拉格朗日力學
• 哈密頓力學
• 廣義力
• 正則變換