重言1形式

在数学中，重言 1-形式（Tautological one-form）是流形 Q 的余切丛 $T^{*}Q$ 上一个特殊的 1-形式。这个形式的外导数定义了一个辛形式给出了 $T^{*}Q$ 的辛流形结构。重言 1-形式在哈密顿力学与拉格朗日力学的形式化中起着重要的作用。重言 1-形式有时也称为刘维尔 1-形式，典范 1-形式，或者辛势能。一个类似的对象是切丛上的典范向量场。

在典范坐标中，重言 1-形式由下式给出：

$\theta =\sum _{i}p_{i}dq^{i}\ .$

在差一个全微分（恰当形式）的意义下，相空间中的任何“保持”典范 1-形式结构的坐标系，可以称之为典范坐标；不同典范坐标之间的变换称为典范变换。

典范辛形式由

$\omega =-d\theta =\sum _{i}dq^{i}\wedge dp_{i}\ ,$

给出。

无坐标定义

重言 1-形式可以相当抽象地定义为相空间上一个 1-形式。设 $Q$ 是一个流形，$M=T^{*}Q$ 是其余切空间或者说相空间。设

$\pi :M\to Q\ ,$

是典范纤维丛投影，令

$T_{\pi }:TM\to TQ\ ,$

是 $\pi$ 诱导的前推。设 m 是 M 上一点，然而因为 M 是余切丛，我们可将 m 理解为切空间上一个函数，在 $q=\pi (m)$ 点为：

$m:T_{q}Q\to \mathbb {R} \ .$

这样，我们便有 m 是在 q 点的纤维中。重言 1-形式 $\theta _{m}$ 在点 m 定义为

$\theta _{m}=m\circ T_{\pi }\ .$

这是一个线性函数

$\theta _{m}:T_{m}M\to \mathbb {R} \ ,$

所以

$\theta :TM\to \mathbb {R} \ ,$

是流形 $M=T^{*}Q$ 上一个 1-形式。不难验证这种定义和上一节局部坐标的定义是相同的。

性质

重言 1-形式是惟一“消去”拉回的 1-形式。这便是说：若

$\beta :Q\to T^{*}Q$

是 Q 上任意一个 1-形式，而 $\beta ^{*}$ 是其拉回。那么

$\beta ^{*}\theta =\beta \ ,$

以及

$\beta ^{*}\omega =-d\beta \ .$

这些都可以用上一节的定义直接得到，如果写成局部坐标的形式就最好理解：

$\beta ^{*}\theta =\beta ^{*}\sum _{i}p_{i}dq^{i}=\sum _{i}\beta ^{*}p_{i}dq^{i}=\sum _{i}\beta _{i}dq^{i}=\beta \ .$

作用量

如果 H 是余切丛上一个哈密顿向量场，而 $X_{H}$ 是其哈密顿流，那么相应的作用量 S 为

$S=\theta (X_{H})\ .$

用普通的方式表述，哈密顿流代表了一个力学系统在哈密顿-雅可比方程限制下的轨道。哈密顿流是哈密顿向量场的积分曲线，所以我们用作用量-角度坐标传统记法：

$S(E)=\sum _{i}\oint p_{i}\,dq^{i}\ ,$

这里积分理解为在流形上的维持能量 $E$ 为常数 $H=E={\text{const}}$ 的子集上进行。

在度量空间上

如果流形 Q 有一个黎曼或者伪黎曼度量 g，那么相应的定义可以用广义坐标写出。特别地，如果我们取度量为映射

$g:TQ\to T^{*}Q\ ,$

这样便定义了

$\Theta =g^{*}\theta$

和

$\Omega =-d\Theta =g^{*}\omega$

在 TQ 上的广义坐标中 $(q^{1},\ldots ,q^{n},{\dot {q}}^{1},\ldots ,{\dot {q}}^{n})$ ，我们有

$\Theta =\sum _{ij}g_{ij}{\dot {q}}^{i}dq^{j}$

以及

$\Omega =\sum _{ij}g_{ij}\;dq^{i}\wedge d{\dot {q}}^{j}+\sum _{ijk}{\frac {\partial g_{ij}}{\partial q^{k}}}\;{\dot {q}}^{i}\,dq^{j}\wedge dq^{k}\ .$

度量使我们可定义 $T^{*}Q$ 上的一个单位半径球面（丛）。典范 1-形式限制到这些球面上组成了一个切触结构；这个切触结构可以用来生成关于这个度量的测地流。

又见

• 基本类

参考文献

• Ralph Abraham and Jarrold E. Marsden, Foundations of Mechanics, (1978) Benjamin-Cummings, London ISBN 0-8053-0102-X See section 3.2.
• 贺龙广，辛几何与泊松几何引论，首都师范大学出版社，2001年，ISBN 7-81064-249-9