作用量-角度坐标

在经典力学里，作用量-角度坐标（action-angle coordinate）是一组正则坐标，通常在解析可积分系统 (Integrable system) 时，有很大的用处。应用作用量-角度坐标的方法，不需要先解析运动方程，就能够求得振动或旋转的频率。作用量-角度坐标主要用于完全可分的 哈密顿-亚可比方程（哈密顿量显性地不含时间，也就是说，能量保持恒定）。作用量-角度变数可以用来定义一个环面不变量。因为，保持作用量的不变设定了环的曲面，而角度是环面的另外一个坐标，粒子依照着角度，卷绕于环面。

在量子力学早期，波动力学发展成功之前，玻尔-索末菲量子化条件 (Bohr-Sommerfeld quantization) 是研究量子力学的利器。此条件阐明，作用量必须是普朗克常数常数的整数倍。爱因斯坦对于 Einstein-Brillouin-Keller action quantization 深刻的理解 与 非可积分系统 量子化的困难，都是以 作用量-角度坐标的环面不变量 来表达。

在哈密顿力学里，作用量-角度坐标也可以应用于摄动理论，特别是在决定缓渐不变量。关于一个自由度很小的动力系统的非线形摄动，混沌理论研究的最早的一个结果是 KAM theorem 。这定理阐明，对于微小摄动，环面不变量是稳定的。

作用量-角度坐标，对于户田晶格 (Toda field theory) 的解析，对于 Lax pairs 的定义，更广义地，对于一个系统同光谱 (isospectral) 演化的构想，都占有关键地位。

导引

保守的哈密顿量系统

主条目：哈密顿特征函数

假设，在一个物理系统里，哈密顿量是保守的，也就是说，哈密顿量 ${\mathcal {H}}$ 不显含时间；

${\mathcal {H}}(\mathbf {q} ;\ \mathbf {p} )=a_{\mathcal {H}}$ ；

其中，$a_{\mathcal {H}}$ 是运动常数，$\mathbf {q}$ 是广义坐标，$\mathbf {p}$ 是广义动量。

采用哈密顿特征函数 $W(\mathbf {q} ;\ \mathbf {P} )$ 为正则变换的第二型生成函数。变换方程为

$\mathbf {p} ={\frac {\partial W}{\partial \mathbf {q} }}$ ，

$\mathbf {Q} ={\frac {\partial W}{\partial \mathbf {P} }}$ ；

其中，$\mathbf {Q}$ 是新广义坐标，$\mathbf {P}$ 是新广义动量。

新哈密顿量 ${\mathcal {K}}$ 与旧哈密顿量 ${\mathcal {H}}$ 相等：

${\mathcal {K}}(\mathbf {Q} ;\ \mathbf {P} )={\mathcal {H}}(\mathbf {q} ;\ \mathbf {p} )=a_{\mathcal {H}}$ 。

新广义动量的哈密顿方程为

${\dot {\mathbf {P} }}=-{\frac {\partial {\mathcal {K}}}{\partial Q}}=0,\!$ 。

所以，新广义动量是常数 $\mathbf {a}$ ：

$\mathbf {P} =\mathbf {a}$ ，

假设，这物理系统的哈密顿-亚可比方程 ${\mathcal {H}}\left(\mathbf {q} ,\ {\frac {\partial W}{\partial \mathbf {q} }}\right)=a_{\mathcal {H}}$ 为完全可分的，则哈密顿特征函数 $W(\mathbf {q} ;\ \mathbf {P} )$ 可以分离为 $n$ 个函数 $W_{i}$ ：

$W(\mathbf {q} ;\ \mathbf {a} )=\sum _{i=1}^{n}\ W_{i}(q_{i};\ \mathbf {a} )$ 。

哈密顿特征函数与新旧正则坐标的关系是

$p_{i}={\frac {\partial W_{i}(q_{i};\ \mathbf {a} )}{\partial q_{i}}}$ ，

$Q_{i}=\sum _{j=1}^{n}\ {\frac {\partial W_{j}(q_{j};\ \mathbf {a} )}{\partial a_{i}}}$ 。

周期性运动

假若，粒子的运动是周期性运动，最常见的例子如振动或旋转都是周期性运动，则可以设计一个新正则坐标－作用量-角度坐标 $(\mathbf {w} ,\ \mathbf {J} )$ 。定义作用量为

$J_{i}\equiv \oint p_{i}dq_{i}$ ；

这闭路径积分的路径是粒子运动一周期的路径。

由于广义动量 $p_{i}$ 只跟 $q_{i}$ 、$\mathbf {a}$ 有关，经过积分，作用量$J_{i}$ 只跟 $\mathbf {a}$ 有关。所以，作用量向量 $\mathbf {J}$ 只是个常数向量。哈密顿特征函数可以表达为

$W(\mathbf {q} ;\ \mathbf {J} )=\sum _{i=1}^{n}\ W_{i}(q_{i};\ \mathbf {J} )$ 。

虽然是同样的物理量，函数的参数不同，形式也不同。

定义角度 $\mathbf {w}$ 为

$w_{i}\equiv {\frac {\partial W}{\partial J_{i}}}=\sum _{j=1}^{n}\ {\frac {\partial W_{j}(q_{j};\ \mathbf {J} )}{\partial J_{i}}}$ 。

由于所有的广义坐标 $q_{i}$ 都相互独立，所有的广义动量 $p_{i}$ 也都相互独立，所以，所有的作用量 $J_{i}$ 都相互独立，作用量-角度坐标可以正确的用为正则坐标。这样，哈密顿特征函数可以用正则坐标作用量-角度坐标表达为

$W(\mathbf {w} ;\ \mathbf {J} )=\sum _{i=1}^{n}\ W_{i}(w_{i};\ \mathbf {J} )$ 。

新哈密顿量 ${\mathcal {K}}'$ 与旧哈密顿量 ${\mathcal {H}}$ 相等：

${\mathcal {K}}'(\mathbf {w} ;\ \mathbf {J} )={\mathcal {H}}(\mathbf {q} ;\ \mathbf {p} )=a_{\mathcal {H}}$ 。

因为作用量 $J_{i}=J_{i}(\mathbf {a} )$ 只是常数向量，所以，

$-{\dot {J}}_{i}={\frac {\partial {\mathcal {K}}'}{\partial w_{i}}}=0$ 。

新哈密顿量 ${\mathcal {K}}'={\mathcal {K}}'(\mathbf {J} )$ ，只跟作用量 $\mathbf {J}$ 有关，跟角度 $\mathbf {w}$ 无关。

角度 $w_{i}$ 随时间的导数 $\nu _{i}$ ，可以用哈密顿方程决定：

$\nu _{i}(\mathbf {J} )={\dot {w}}_{i}={\frac {\partial {\mathcal {K}}'}{\partial J_{i}}}$ 。

每一个 $J_{i}$ 都是常数，所以，$\nu _{i}(\mathbf {J} )$ 也是常数：

$w_{i}=\nu _{i}t+\beta _{i}$ ；

其中，$\beta _{i}$ 是积分常数。

运动频率

假设原本广义坐标 $q_{i}$ 的振荡或旋转的运动周期为 $T_{i}$ ，则其对应的角度变数 $w_{i}$ 的改变是 $\Delta w_{i}=\nu _{i}T_{i}$ 。进一步了解物理量 $\nu _{i}$ 的性质，猜想 $\nu _{i}$ 与广义坐标 $q_{i}$ 周期性运动的频率有关。可是，因为角度 $w_{i}$ 是广义坐标 $\mathbf {q}$ 与作用量 $\mathbf {J}$ 的函数，无法确定前面的猜想。为了证实这论点，计算周期 $T_{i}$ ：

$T_{i}=\oint dt=\oint {\frac {dq_{i}}{\dot {q_{i}}}}=\oint {\cfrac {dq_{i}}{\ \ {\cfrac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial p_{i}}}\ \ }}$ 。

新哈密顿量 ${\mathcal {K}}'(\mathbf {J} )$ 与旧哈密顿量 ${\mathcal {H}}$ 相等。所以，

${\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial p_{i}}}=\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial {\mathcal {K}}'}{\partial J_{j}}}{\frac {\partial J_{j}}{\partial p_{i}}}=\sum _{j=1}^{n}\nu _{j}{\frac {\partial J_{j}}{\partial p_{i}}}$ 。

假若 $q_{j}$ 是个循环坐标，那么，其共轭动量 $p_{j}$ 必是个常数，可以从作用量的定义积分内提出来：

$J_{j}\equiv \oint p_{j}dq_{j}=p_{j}\oint dq_{j}=p_{j}\ell$ ；

其中，$\ell$ 是 $q_{j}$ 运动一周期的值。

这样，

${\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial p_{i}}}=\sum _{j=1}^{n}\nu _{j}\delta _{ij}\,\ell =\nu _{i}\,\ell$ 。

代入周期 $T_{i}$ 的公式，

$T_{i}=\oint {\frac {dq_{i}}{\nu _{i}(\mathbf {J} )\,\ell }}={\frac {1}{\nu _{i}}}$ 。

肯定地，$\nu _{i}$ 是广义坐标 $q_{i}$ 的频率。

假若 $q_{j}$ 不是循环坐标，则不能将其共轭动量 $p_{j}$ 从作用量的定义积分内提出来，必须采用另外一个方法计算。从角度的定义，可以察觉角度 $w_{i}$ 跟广义坐标 $\mathbf {q}$ 、作用量 $\mathbf {J}$ 有关：

$w_{i}=w_{i}(\mathbf {q} ;\ \mathbf {J} )$ 。

保持作用量不变，角度的虚位移 $\delta w_{i}$ 是：

$\delta w_{i}=\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial w_{i}}{\partial q_{j}}}dq_{j}$ 。

在一个周期性物理系统里，每一个广义坐标 $q_{i}$ 都有它运动的周期 $T_{i}$ 。假若，其中有任何广义坐标的周期与别的广义坐标的周期不相同，则称此物理系统为多重周期性物理系统。假若，两个广义坐标的周期不同 $T_{1}$ 、$T_{2}$ 。在做闭路径积分的时候，就必须使用使用一个新的周期 $T$ ，让闭路径积分能够开始与结束于同一点．假若，两个周期的比例是个有理数，则称这两个周期互相可通约的。设定新周期为

$T=m_{1}T_{1}+m_{2}T_{2}$ ；

其中，${\frac {T}{T_{1}}}$ 、${\frac {T}{T_{2}}}$ 、$m_{1}$ 、$m_{2}$ ，都是正值的整数。

同样地，在多重周期性物理系统里，假若，每一个广义坐标的周期与其它的广义坐标的周期都是互相可通约的，则此系统是完全可通约的，称此系统为完全可通约系统。那么，新周期 $T$ 为

$T=\sum _{i=1}^{n}m_{i}T_{i}$ ；

其中，${\frac {T}{T_{i}}}$ 、$m_{i}$ ，都是正值的整数。

经过一个周期 $T$ ，角度 $w_{i}$ 的变化是：

$\Delta w_{i}=\nu _{i}m_{i}T_{i}=\oint \sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial w_{i}}{\partial q_{j}}}dq_{j}=\oint \sum _{j=1}^{n}\sum _{k=1}^{n}{\frac {\partial ^{2}W_{k}(q_{k};\ \mathbf {J} )}{\partial q_{j}\ \partial J_{i}}}dq_{j}$ 。

由于作用量 $J_{i}$ 是个常数，可以将它从积分内提出：

$\Delta w_{i}={\frac {d}{dJ_{i}}}\oint \sum _{j=1}^{n}\sum _{k=1}^{n}{\frac {\partial W_{k}(q_{k};\ \mathbf {J} )}{\partial q_{j}}}dq_{j}={\frac {d}{dJ_{i}}}\oint \sum _{j=1}^{n}p_{j}dq_{j}={\frac {d}{dJ_{i}}}\sum _{j=1}^{n}m_{j}J_{j}=m_{i}$ 。

所以，频率是

$\nu _{i}(\mathbf {J} )={\frac {1}{T}}$ 。

假若，有任何两个互相不可通约的广义坐标 $q_{i}$ 、$q_{j}$ ，其周期 $T_{i}$ 、$T_{j}$ 的比例是无理数。那么，$q_{i}$ 不可能与 $q_{j}$ 同时回到同一点。虽然如此，有理论证明，$\nu _{i}$ 、$\nu _{i}$ 仍旧分别是 $q_{i}$ 、$q_{j}$ 的频率。

傅里叶级数

角度 $\mathbf {w}$ 是一组互相独立的广义坐标。所以，一般而言，每一个广义坐标 $q_{k}$ 可以用角度的傅里叶级数表示：

$q_{k}=\sum _{s_{1}=-\infty }^{\infty }\sum _{s_{2}=-\infty }^{\infty }\ldots \sum _{s_{N}=-\infty }^{\infty }A_{s_{1},s_{2},\ldots ,s_{N}}^{k}e^{i2\pi s_{1}w_{1}}e^{i2\pi s_{2}w_{2}}\ldots e^{i2\pi s_{N}w_{N}}$ ；

其中， $A_{s_{1},s_{2},\ldots ,s_{N}}^{k}$ 是傅里叶级数系数。

在大多数实际案例，物理系统的哈密顿-亚可比方程 ${\mathcal {H}}\left(\mathbf {q} ,\ {\frac {\partial W}{\partial \mathbf {q} }}\right)=a_{\mathcal {H}}$ 为完全可分的。那么，一个原本广义坐标 $q_{k}$ 只需用其相应的角度变数的傅里叶级数表示：

$q_{k}=\sum _{s_{k}=-\infty }^{\infty }e^{i2\pi s_{i}w_{i}}$ 。

基本规则总结

一般程序有三个步骤：

1. 计算作用量变数 $J_{i}$ 。
2. 用作用量变数表示原本哈密顿量。
3. 取哈密顿量关于作用量变数的导数。这样，可以求得频率 $\nu _{i}$ 。

简并度

在有些案例，两个不同的广义坐标会有相同的频率；也就是说，$\nu _{i}=\nu _{j}$ for $i\neq j$ 。称这些案例的运动状态为简并。

简并的运动给出暗示，很可能有更多的保守量。例如，开普勒问题的频率是简并的，这对应于拉普拉斯-龙格-楞次向量的恒定性。

简并的运动还给出暗示，在多于一种坐标系统里，哈密顿-亚可比方程会是完全可分的。例如，开普勒问题在球坐标系与抛物线坐标系，都是完全可分的。

参考文献

• Lev D. Landau and E. M. Lifshitz, (1976) Mechanics, 3rd. ed., Pergamon Press. ISBN 0-08-021022-8 (hardcover) and ISBN 0-08-029141-4 (softcover).

• H. Goldstein, (1980) Classical Mechanics, 2nd. Ed., Addison-Wesley. ISBN 0-201-02918-9. pg. 457-477.