七方偏方面体

在几何学中，七方偏方面体是一个由14个全等的鸢形组成的多面体，是十四面体的一种，同时也是鸢形多面体，是偏方面体系列的第五个成员。

七方偏方面体

类别	偏方面体
对偶多面体	七角反棱柱
数学表示法
考克斯特符号
康威表示法	dA7
性质
面	14
边	28
顶点	16
欧拉特征数	F=14, E=28, V=16 （χ=2）
组成与布局
面的种类	14个筝形
面的布局	V7.3.3.3
对称性
对称群	D7d, [2+,14], (2*7), 28阶
旋转对称群	D7, [2,7]+, (227), 14阶
特性
凸、面可递
图像
七角反棱柱 （对偶多面体）

七方偏方面体是一个等面图形，即面可递多面体，其所有面都相等。更具体来说，其不仅所有面都全等，且面与面必须能在其对称性上传递，也就是说，面必须位于同一个对称性轨道内。这种凸多面体是能做成公正的骰子的形状。因此其可以做成一种十四面骰子。

性质

七方偏方面体共由14个面、28条边和16个顶点组成。组成七方偏方面体的14个面都是鸢形，而组成七方偏方面体的16个顶点有2个是7个鸢形的公共顶点，另外14个是3个鸢形的公共顶点。

对称性

七方偏方面体的对称性是28阶的D_7d二面体群。 其旋转群为14阶的D₇群。

变体

从D_7d群（28阶）到D₇（14阶）的对称性有一个自由度能将全等的鸢形转变为具有3种边长的全等四边形，称为扭曲鸢形，其所形成的偏方面体称为扭曲偏方面体。

如果围绕上下两顶点的鸢形不是扭曲的，但是具有两种形状，则这个七方偏方面体只能具有循环的14阶C_7v对称性，称为不等或不对称的七方偏方面体。其对偶多面体是一个等面与底面半径不相等的七角反角柱。

如果组成七方偏方面体的鸢形是扭曲的，且有两种形状，则这个七方偏方面体只能具有循环的7阶C₇对称性，称为不等面扭曲七方偏方面体。

等二面角七方偏方面体

由于七方偏方面体的对偶多面体正七角反棱柱是一个均匀多面体，因此直接套用对偶变换的正七角反棱柱会形成一个所有二面角相等的七方偏方面体。这个七方偏方面体若对偶变换的原像之边长能够被确定，则产生的七方偏方面体之边长、体积和顶点座标也能够被唯一确定。

二面角

等二面角七方偏方面体的二面角为：

$\arccos {-{\frac {8\cos ^{2}{\frac {\pi }{7}}+8\cos({\frac {\pi }{7}})-5}{13}}}\approx 2.30414646\approx 132.017867361^{\circ }$

其中，反余弦内的数值为方程式$13x^{3}+x^{2}-5x-1=0$的正实根。

尺寸

若对偶变换的原像之边长为单位长，则对应的七方偏方面体之鸢形面的短边长为：

${\frac {\sqrt {3-\tan ^{2}(2{\frac {\pi }{7}})}}{2}}\approx 0.59740762$

鸢形面的长边长为：

${\frac {\sqrt {2\left(\cot ^{2}{\frac {\pi }{14}}-1\right)}}{2}}\approx 3.0162617$

内切球半径为：

${\frac {\sqrt {26\left(24\cos ^{2}{\frac {\pi }{7}}+11\cos ^{2}{\frac {\pi }{7}}-2\right)}}{26}}\approx 1.02643024$

体积为：

${\frac {7{\sqrt {7+40\cos {\frac {2\pi }{7}}+36\cos ^{2}{\frac {2\pi }{7}}}}}{6}}\approx 7.907058288$

相关多面体

偏方面体家族

2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	...
球面投影