七方偏方面體

在幾何學中，七方偏方面體是一個由14個全等的鳶形組成的多面體，是十四面體的一種，同時也是鳶形多面體，是偏方面體系列的第五個成員。

七方偏方面體

類別	偏方面體
對偶多面體	七角反稜柱
數學表示法
考克斯特符號
康威表示法	dA7
性質
面	14
邊	28
頂點	16
歐拉特徵數	F=14, E=28, V=16 （χ=2）
組成與佈局
面的種類	14個箏形
面的佈局	V7.3.3.3
對稱性
對稱群	D7d, [2+,14], (2*7), 28階
旋轉對稱群	D7, [2,7]+, (227), 14階
特性
凸、面可遞
圖像
七角反稜柱 （對偶多面體）

七方偏方面體是一個等面圖形，即面可遞多面體，其所有面都相等。更具體來說，其不僅所有面都全等，且面與面必須能在其對稱性上傳遞，也就是說，面必須位於同一個對稱性軌道內。這種凸多面體是能做成公正的骰子的形狀。因此其可以做成一種十四面骰子。

性質

七方偏方面體共由14個面、28條邊和16個頂點組成。組成七方偏方面體的14個面都是鳶形，而組成七方偏方面體的16個頂點有2個是7個鳶形的公共頂點，另外14個是3個鳶形的公共頂點。

對稱性

七方偏方面體的對稱性是28階的D_7d二面體群。 其旋轉群為14階的D₇群。

變體

從D_7d群（28階）到D₇（14階）的對稱性有一個自由度能將全等的鳶形轉變為具有3種邊長的全等四邊形，稱為扭曲鳶形，其所形成的偏方面體稱為扭曲偏方面體。

如果圍繞上下兩頂點的鳶形不是扭曲的，但是具有兩種形狀，則這個七方偏方面體只能具有循環的14階C_7v對稱性，稱為不等或不對稱的七方偏方面體。其對偶多面體是一個等面與底面半徑不相等的七角反角柱。

如果組成七方偏方面體的鳶形是扭曲的，且有兩種形狀，則這個七方偏方面體只能具有循環的7階C₇對稱性，稱為不等面扭曲七方偏方面體。

等二面角七方偏方面體

由於七方偏方面體的對偶多面體正七角反稜柱是一個均勻多面體，因此直接套用對偶變換的正七角反稜柱會形成一個所有二面角相等的七方偏方面體。這個七方偏方面體若對偶變換的原像之邊長能夠被確定，則產生的七方偏方面體之邊長、體積和頂點座標也能夠被唯一確定。

二面角

等二面角七方偏方面體的二面角為：

$\arccos {-{\frac {8\cos ^{2}{\frac {\pi }{7}}+8\cos({\frac {\pi }{7}})-5}{13}}}\approx 2.30414646\approx 132.017867361^{\circ }$

其中，反餘弦內的數值為方程式$13x^{3}+x^{2}-5x-1=0$的正實根。

尺寸

若對偶變換的原像之邊長為單位長，則對應的七方偏方面體之鳶形面的短邊長為：

${\frac {\sqrt {3-\tan ^{2}(2{\frac {\pi }{7}})}}{2}}\approx 0.59740762$

鳶形面的長邊長為：

${\frac {\sqrt {2\left(\cot ^{2}{\frac {\pi }{14}}-1\right)}}{2}}\approx 3.0162617$

內切球半徑為：

${\frac {\sqrt {26\left(24\cos ^{2}{\frac {\pi }{7}}+11\cos ^{2}{\frac {\pi }{7}}-2\right)}}{26}}\approx 1.02643024$

體積為：

${\frac {7{\sqrt {7+40\cos {\frac {2\pi }{7}}+36\cos ^{2}{\frac {2\pi }{7}}}}}{6}}\approx 7.907058288$

相關多面體

偏方面體家族

2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	...
球面投影