三复合立方体

在几何学中，三复合立方体（英语：Compound of three cubes，又称为Cube 3-Compound），是一种非凸多面体，属于星形多面体，外观看起来像三个立方体卡在一起。这可以被看作是多面体和星形多面体的复合体。其出现于莫里兹·柯尼利斯·艾雪的作品《瀑布》中。

三复合立方体

类别	复合正多面体
对偶多面体	三复合正八面体
识别
名称	三复合立方体
参考索引	UC8
性质
体	3
面	18
边	36
顶点	24
欧拉特征数	F=18, E=36, V=24 （χ=6）
组成与布局
复合几何体数量	3
复合几何体种类	3个正六面体
面的种类	18个正方形
对称性
对称群	八面体群 (Oh)

历史

这种复合体最早描绘在马克斯·布吕克纳于1900年出版的著作《Vielecke und Vielflache》中。后来莫里兹·柯尼利斯·艾雪读了马克斯·布吕克纳的著作后在自己的石版画作品《瀑布》中也描绘了这种几何结构。

而在15世纪的手稿《De quinque corporibus regularibus》也有关于立方体在三复合立方体的这种八面体对称配置下的研究。在这手稿当中，皮耶罗·德拉·弗朗切斯卡绘制了一幅围绕立方体外接的八面体的图，其中八个立方体的边位于八面体的八个面上。三复合立方体可以透过这种方式在八面体内部内接三个立方体来构成。不过，德拉·弗朗切斯卡没有描绘出这个复合体。

手稿《De quinque corporibus regularibus》描绘之位于八面体中的立方体

另一个角度观察八面体中的立方体

性质

三复合立方体是一种由3个立方体互相嵌入所组成的复合多面体。这三个立方体沿着八面体群对称性排列组成，换句话说，立方体以斜45度的柱体方式沿着3个座标轴分布，其对偶多面体为三复合正八面体。

若将三复合立方体视为一个简单多面体，则其可以透过24组面来组成，每组面包含了1个等腰三角形、2个等腰直角三角形和2个梯形。这些等腰直角三角形的侧边长与梯形的高相等，且梯形的高与较短的底边（上底）相等；等腰直角三角形的底边与等腰三角形相等。若对应立方体的边长为单位长，则等腰三角形与等腰直角三角形的底边和斜边为：

底边$={\sqrt {2}}-1\approx 0.41421$

斜边$={\frac {2{\sqrt {3}}-{\sqrt {6}}}{4}}\approx 0.25365$

等腰直角三角形的斜边$=1-{\frac {\sqrt {2}}{2}}\approx 0.29289$

梯形的上底、下底、高和斜边分别为：

上底$=1-{\frac {\sqrt {2}}{2}}\approx 0.29289$

下底$={\frac {1}{2}}=0.5$

高$=1-{\frac {\sqrt {2}}{2}}\approx 0.29289$

斜边$={\frac {\sqrt {9-6{\sqrt {2}}}}{2}}\approx 0.35872$

则对应立体的表面积$A$为：

$A=72-45{\sqrt {2}}\approx 8.36$

组成三复合立方体的三种面。 红色为等腰三角形、蓝色为等腰直角三角形、 黄色为梯形

以左图三种面的颜色 上色的三复合立方体

以立方体为单位上色 的三复合立方体

参见

• 艾雪立体

参考文献

1. Skilling, John, Uniform Compounds of Uniform Polyhedra, Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, 1976, 79: 447–457, MR 0397554, doi:10.1017/S0305004100052440 .

外部链接

• 埃里克·韦斯坦因. 三複合立方體. MathWorld.