三复合立方体

几何学中,三复合立方体(英语:Compound of three cubes,又称为Cube 3-Compound),是一种非凸多面体,属于星形多面体,外观看起来像三个立方体卡在一起。这可以被看作是多面体星形多面体的复合体。其出现于莫里兹·柯尼利斯·艾雪的作品《瀑布》中。[1][2]

三复合立方体
三复合立方体
类别复合正多面体
对偶多面体三复合正八面体
识别
名称三复合立方体
参考索引UC8
性质
3
18
36
顶点24
欧拉特征数F=18, E=36, V=24 (χ=6)
组成与布局
复合几何体数量3
复合几何体种类3个正六面体
面的种类18个正方形
对称性
对称群八面体群 (Oh)

历史

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这种复合体最早描绘在马克斯·布吕克纳英语Max Brückner于1900年出版的著作《Vielecke und Vielflache》中。[3]后来莫里兹·柯尼利斯·艾雪读了马克斯·布吕克纳英语Max Brückner的著作后在自己的石版画作品《瀑布》中也描绘了这种几何结构[4]

而在15世纪的手稿《De quinque corporibus regularibus英语De quinque corporibus regularibus》也有关于立方体在三复合立方体的这种八面体对称配置下的研究。在这手稿当中,皮耶罗·德拉·弗朗切斯卡绘制了一幅围绕立方体外接的八面体的图,其中八个立方体的边位于八面体的八个面上。三复合立方体可以透过这种方式在八面体内部内接三个立方体来构成。[5]不过,德拉·弗朗切斯卡没有描绘出这个复合体。[6]

手稿《De quinque corporibus regularibus英语De quinque corporibus regularibus》描绘之位于八面体中的立方体
另一个角度观察八面体中的立方体

性质

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三复合立方体是一种由3个立方体互相嵌入所组成的复合多面体。这三个立方体沿着八面体群对称性排列组成[4],换句话说,立方体以斜45度的柱体方式沿着3个座标轴分布[4][2],其对偶多面体三复合正八面体[5]

若将三复合立方体视为一个简单多面体,则其可以透过24组来组成,每组面包含了1个等腰三角形、2个等腰直角三角形和2个梯形。这些等腰直角三角形的侧边长与梯形的高相等,且梯形的高与较短的底边(上底)相等;等腰直角三角形的底边与等腰三角形相等。若对应立方体的边长为单位长,则等腰三角形与等腰直角三角形的底边和斜边为:[7]

底边 
斜边 
等腰直角三角形的斜边 

梯形的上底、下底、高和斜边分别为:[7]

上底 
下底 
 
斜边 

则对应立体的表面积 为:[7]

 
 
组成三复合立方体的三种面。
红色为等腰三角形、蓝色为等腰直角三角形、
黄色为梯形
 
以左图三种面的颜色
上色的三复合立方体
 
以立方体为单位上色
的三复合立方体

参见

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参考文献

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  1. Skilling, John, Uniform Compounds of Uniform Polyhedra, Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, 1976, 79: 447–457, MR 0397554, doi:10.1017/S0305004100052440 .
  1. ^ Silva, Ederson Marcelino da; et al, Poliedros de Arquimedes, Catalan, Kepler-Poinsot, Platão e o Sólido de Escher: contribuições para o ensino e aprendizagem de poliedros (PDF), Universidade Tecnológica Federal do Paraná: p.59, 2018 
  2. ^ 2.0 2.1 Mattsson, Ken and Ham, Frank and Iaccarino, Gianluca. Ecien t wave propagation on complex domains. Annual Research Briefs 2006 (Center for Turbulence Research). 2006: 223–233, [2021-09-04]. (原始内容存档于2021-09-04). 
  3. ^ Brückner, Max, Vielecke und Vielflache, Theorie und Geschichte, Leipzig: B.G. Teubner, Plate 23, 1900 
  4. ^ 4.0 4.1 4.2 Hart, George W., Max Brücknerʼs Wunderkammer of Paper Polyhedra, Bridges 2019 Conference Proceedings (PDF): 59–66, [2021-09-04], (原始内容存档 (PDF)于2022-01-21) 
  5. ^ 5.0 5.1 Zefiro, Livio. The compound of three octahedra and a remarkable compound of three square dipyramids, the Escher's solid. Visual Mathematics (Mathematical Institute SASA). 2010, (47) [2021-09-04]. (原始内容存档于2018-10-09). 
  6. ^ Hart, George W., Piero della Francesca's Polyhedra, Virtual Polyhedra, 1998 [2021-09-04], (原始内容存档于2017-11-26) .
  7. ^ 7.0 7.1 7.2 Weisstein, Eric W. (编). Cube 3-Compound. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. (英语). 

外部链接

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