立方体
在几何学中，立方体，是由6个正方形面组成的正多面体，故又称正六面体、正方体或正立方体。它有12条棱（边）和8个顶点，是五个柏拉图立体之一。
 (按这里观看旋转模型) | |||
| 类别 | 柏拉图立体 正多面体 | ||
|---|---|---|---|
| 对偶多面体 | 正八面体 | ||
| 识别 | |||
| 名称 | 正六面体 | ||
| 参考索引 | U06, C18, W3 | ||
| 鲍尔斯缩写 | cube | ||
| 数学表示法 | |||
| 施莱夫利符号 | {4,3} | ||
| 威佐夫符号 | 3 | 2 4 | ||
| 康威表示法 | C | ||
| 性质 | |||
| 面 | 6 | ||
| 边 | 12 | ||
| 顶点 | 8 | ||
| 欧拉特征数 | F=6, E=12, V=8 （χ=2） | ||
| 二面角 | 90° | ||
| 组成与布局 | |||
| 面的种类 | 正方形 | ||
| 面的布局 | 6个{4} | ||
| 顶点图 | 4.4.4 | ||
| 对称性 | |||
| 对称群 | Oh | ||
| 特性 | |||
| 正凸环带多面体 | |||
| 图像 | |||
| |||
立方体是一种特殊的正四棱柱、长方体、三方偏方面体、菱形多面体、平行六面体，就如同正方形是特殊的矩形、菱形、平行四边形一様。立方体具有正八面体对称性，即考克斯特BC3对称性，施莱夫利符号{4,3}，考克斯特-迪肯符号
，其对偶多面体为正八面体。
性质 编辑
面的组成：正方形
面的数目：6
边的数目：12
顶点数目：8
表面积：
体积：
二面角角度：
外接球半径：
内接球半径：
对偶多面体：正八面体
在所有表面积一定的长方体中，立方体的体积最大，同样，在所有线性大小（长宽高之和）一定的长方体中，立方体的体积也是最大的。反过来，体积相等的长方体中，立方体拥有最小表面积和线性大小。
顶点坐标及表面方程 编辑
在三维直角坐标系中，对于以原点为中心的、各棱平行于坐标轴的、棱长为2的立方体，其顶点坐标为 (±1, ±1, ±1) 的全排列。其包含了所有满足|x|≤1且|y|≤1且|z|≤1的点(x,y,z)。
在R3中，以点(x0,y0,z0)为中心的立方体表面是点(x,y,z)的运动轨迹，其中x,y,z满足：
几何性质 编辑
立方体有11种不同的展开图，即是说，我们可以有11种不同的方法切开空心立方体的7条棱而将其展平为平面图形，见右图。
如果我们要将立方体涂色而使相邻的面不带有相同的颜色，则我们至少需要3种颜色（类似于四色问题）。
立方体是唯一能够独立密铺三维欧几里得空间的柏拉图正多面体，因此立方体堆砌也是四维唯一的正堆砌（三维空间中的堆砌拓扑上等价于四维多胞体）。它又是柏拉图立体中唯一一个有偶数边面——正方形面的，因此，它是柏拉图立体中独一无二的环带多面体（它所有相对的面关于立方体中心中心对称）。
将立方体沿对角线切开，能得到6个全等的正4棱柱（但它不是半正的，底面棱长与侧棱长之比为2:√3）将其正方形面贴到原来的立方体上，能得到菱形十二面体（两两共面三角形合成一个菱形）。
正交投影 编辑
我们可以从不同角度将立方体投影到二维平面上，这些投影都各自携带有立方体原本BC3对称性的一部分。
| 正对于 | 正方形面 | 顶点 |
|---|---|---|
| 考克斯特群 | B2
|
A2
|
| 投影 对称性 |
[4] | [6] |
| 倾斜视角 | 
|
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半正对称性与表面涂色 编辑
作为正多面体之一，立方体拥有较高的对称性，它的所有面在几何上都是相同的，不可区分的。可是我们也可以想象将立方体的面“涂上”不同的“颜色”，使它其的不同面拥有不同的“几何意义”，使立方体拥有不同的对称性。在立方体完全的对称性，即正八面体对称性Oh中，立方体的所有面都是相同的。二面体对称性D4h则将立方体描述得像一个正四棱柱，有两个颜色相同的上下底面，其余4个侧面颜色相同。立方体最低的对称性D2h也将立方体描述的像一个棱柱，不过是长方形棱柱，即一个长方体，它的相对的面颜色相同，而相邻的面是不同的。每一种半正对称性都有自己的施莱夫利符号、考克斯特-迪肯符号和Wythoff符号。此外，由于其对偶正八面体也可被看作是正三反棱柱，立方体也可被看作是正三反棱柱的对偶，即正三偏方面体。
| 名称 | 正六面体 | 正四棱柱 | 长方体 | 正三偏方面体 |
|---|---|---|---|---|
| 考克斯特符号 |
|
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|
| 施莱夫利符号 | {4,3} | {4}×{} | {}×{}×{} | |
| Wythoff符号 | 3 | 4 2 | 4 2 | 2 | 2 2 2 | | |
| 对称性 | Oh (*432) |
D4h (*422) |
D2h (*222) |
D3d (2*3) |
| 对称群阶 | 24 | 16 | 8 | 12 |
| 图像 (半正表面涂色) |
 (111) |
 (112) |
 (123) |
 (111), (112), (122), 及(222) |
相关多面体及镶嵌 编辑
- 将立方体的其中四个顶点相连，而这四个顶点任何两条都没有落在立方体同一条的边上，可得到一个正四面体，其边长为立方体边长的 ，其体积为立方体体积的 。
当正八面体在立方体之内：
正八面体体积 : 立方体体积
=[(1/3)×高×底面积]×2 : 边3
=(1/3)(n/2)[(n2)/2]2 : n3
=1 : 6
- 星形八面体的对角线可组成一个立方体。
- 截半立方体：从一条棱斩去另一条棱的中点得出
- 截角立方体
- 超正方体：立方体在高维度的推广。更加一般的，立方体是一个大家族，即立方形家族（又称超方形、正测形）的3维成员，它们都具有相似的性质（如二面角都是90°、有类似的超体积公式，即Vn-cube=an等）。
- 长方体、偏方面体的特例。
将立方体对映映射后的到的商形成的一个实射影多面体，即立方体半形（hemicube）（不应叫其“半立方体”，因为其易与‘demicube’混淆）。
正方体的对偶多面体是正八面体，如果原正方体棱长为1，则对偶正八面体棱长为√2。
正方体是一种最特殊的四边形正六面体：
| 名称 | 棱长相等？ | 对角相等？ | 各角为直角？ |
|---|---|---|---|
| 立方体 | 是 | 是 | 是 |
| 菱面体 | 是 | 是 | 否 |
| 长方体 | 否 | 是 | 是 |
| 平行六面体 | 否 | 是 | 否 |
| 四边形正六面体 | 否 | 否 | 否 |
立方体的8个顶点可以被交错地分为两组，每一组都构成一个完整的正四面体，更严格地说，这是作为半(Demi-)立方体的正四面体。这两个正四面体组合到一起，就构成了一个正的复合多面体——星形正八面体（Stella Octagula）。两个正四面体重合的地方构成凸的正八面体。这意味着，正四面体的对称群A3是正方体对称群的子群，对应着能将半立方体变换到自身的对称变换，立方体其余的对称变换能将两个半立方体变换到对方。一个这样的正四面体占据了立方体体积的1/3,立方体剩余的部分是4个全等的、顶角是立方体立体角的正三棱锥，各占立方体体积的1/6。
从立方体各棱中点处切掉立方体的角，我们会发现原先立方体的正方形面变成了其对偶的正方形面，而切掉的顶点处出现了新的正三角形面，这样的操作叫“截半”（rectification），得到的半正多面体叫截半立方体（rectified cube），又叫立方八面体（cuboctahedron）。如果我们不在棱中点处截它，则这种操作叫“截角”（truncation），正方形面变成了八边形。如果截的合适，则我们可将正方形截成正八边形，得到的半正多面体叫截顶立方体（truncated cube）。如果我们同时截掉立方体的棱和顶，则这种操作叫“截棱”（centellation），如果截的恰当，得到的半正多面体是小斜方截半立方体（rhombicuboctahedron）。
正十二面体有20个顶点，它们可以以不同组合分成由8个顶点组成的5组，这8个顶点两两相连，构成内接在正十二面体内部的立方体，它的棱都是正十二面体的各面的对角线。这五个立方体组合在一起，构成复合多面体——五复合立方体。
如果我们完全切掉立方体相对的两个顶点，我们会得到一个非正的八面体，将8个这样的八面体正三角形面对正三角形面贴到正八面体上，则我们得到截半立方体。
立方体与所有其它拥有BC3对称性的多面体（如正八面体和立方八面体）构成正八面体家族：
| 对称性: [4,3], (*432) | [4,3]+, (432) | [1+,4,3], (*332) | [4,3+], (3*2) | ||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
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| {4,3} | t0,1{4,3} | t1{4,3} | t1,2{4,3} | {3,4} | t0,2{4,3} | t0,1,2{4,3} | s{4,3} | h{4,3} | h1,2{4,3} |
| 半正多面体的对偶 | |||||||||
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| V4.4.4 | V3.8.8 | V3.4.3.4 | V4.6.6 | V3.3.3.3 | V3.4.4.4 | V4.6.8 | V3.3.3.3.4 | V3.3.3 | V3.3.3.3.3 |
此外，立方体在拓扑上与其它3阶正镶嵌{n,3}相关：
| 多面体 | 欧式镶嵌 | 双曲镶嵌 | ||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
 {2,3}
|
 {3,3}
|
 {4,3}
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 {5,3} 
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 {6,3}
|
 {7,3} 
|
 {8,3} 
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... |  {∞,3} 
|
立方体在拓扑上还和其它阶的正方形正镶嵌{4,n}(n≥3)有关：
| 多面体 | 欧式镶嵌 | 双曲镶嵌 | ||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
 {4,2}
|
{4,3}
|
 {4,4}
|
 {4,5}
|
 {4,6}
|
 {4,7}
|
 {4,8}
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... |  {4,∞}
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立方体是正四棱柱：
| 对称群 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| [2n,2] [n,2] [2n,2+] |
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| 图像 | 
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| 球面多面体 | ||||||||||
| 图像 | 
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| 类别 | 柏拉图立体 | 卡塔兰立体 | |||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 种子 | {3,3} |
{4,3} |
 {3,4} |
{5,3} |
 {3,5} |
 aC |
 aD |
| 倒角 |  cT |
 cC |
 cO |
 cD |
 cI |
 caC |
 caD |
应用 编辑
- 日常生活
- 游戏
- 视错觉
- 数论
数学问题 编辑
倍立方体问题 编辑
参见尺规作图，已经证明此题无法用无刻度的直尺与圆规去画出 的位置
![{\displaystyle {\sqrt[{3}]{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ca071ab504481c2bb76081aacb03f5519930710)
最大的横切面 编辑
立方体的横切面只有四种：
其中以正六边形的面积最大,若立方体的棱长为a,则正六边形的面积为 。
