乘法群

数学与群论中，乘法群指下列概念之一：

• 域、环或运算中含有“乘法”的其他结构，可逆元素形成乘法下的群。对域F，群是$(F\backslash \{0\},\ \cdot )$，其中0指F的零元，二元运算$\cdot$是域乘法；
• 代数环面${\rm {GL}}(1)$。

例子

• 整数模n乘法群是$\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$的可逆元与乘法形成的群。n是合数时，除了0之外还有其他不可逆元。
• 正数$\mathbb {R} ^{+}$的乘法群是阿贝尔群，1是其单位元。对数是此群到实数$\mathbb {R}$加法群的群同构。
• 域F的乘法群是乘法下所有非零元的集合：$F^{\times }=F-\{0\}$。若F是q阶有限域（如$q=p$是素数，且$F=\mathbb {F} _{p}=\mathbb {Z} /p\mathbb {Z}$），则乘法群是循环群：$F^{\times }\cong C_{q-1}$。

单位根的群概形

n次单位根的群概形是乘法群${\rm {GL}}(1)$上n次幂映射的核，可视作群概形。即，对任意整数$n>1$，可考虑乘法群上取n次幂的态射，并取适当的纤维积，其中态射e充当单位。

产生的群概形写作$\mu _{n}$（或$\mu \!\!\mu _{n}$）。当且仅当K的特征不整除n时，将其放在域K上会产生既约概形，这使其产生未约概形（幂零元在其结构层中的概形）的一些重要例子，如p元有限域上的$\mu _{p}$，p表示任意素数。

此现象不易用代数几何的经典语言表达。例如，它在表达特征p中的阿贝尔簇的对偶理论（皮埃尔·卡地亚的理论）时就显得非常重要。此群概形的伽罗瓦上同调是表示库默尔理论的一种方式。

另见

• 整数模n乘法群
• 加法群

参考文献

• Michiel Hazewinkel, Nadiya Gubareni, Nadezhda Mikhaĭlovna Gubareni, Vladimir V. Kirichenko. Algebras, rings and modules. Volume 1. 2004. Springer, 2004. ISBN 1-4020-2690-0