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六阶六边形镶嵌

在几何学中，六阶六边形镶嵌是由六边形组成的双曲面正镶嵌图，在施莱夫利符号中用{6,6}表示。[1]六阶六边形镶嵌即每个顶点皆为六个六边形的公共顶点，顶点周围包含了六个不重叠的六边形，一个六边形内角120度，六个六边形超过了360度，因此无法因此无法在平面作出，但可以在双曲面上作出，同时，此镶嵌图是双曲空间的紧镶嵌，即每一个区域都是紧空间。[2]

六阶六边形镶嵌
六阶六边形镶嵌
庞加莱圆盘模型
类别双曲正镶嵌
对偶多面体六阶六边形镶嵌（自身对偶）
识别
名称六阶六边形镶嵌
鲍尔斯缩写
（verse-and-dimensions的wikia：Bowers acronym）		hihexat
数学表示法
考克斯特符号
（英语：Coxeter-Dynkin diagram）		node_1 6 node 6 node 
施莱夫利符号{6,6}
威佐夫符号
（英语：Wythoff symbol）		6 | 6 2
组成与布局
顶点图66
对称性
对称群[6,6], (*662)
旋转对称群
（英语：Rotation_groups）		[6,6]+, (662)
特性
点可递、等面、双曲
图像

六阶六边形镶嵌（自身对偶）
（对偶多面体）

性质 编辑

六阶六边形镶嵌是一种全部的面皆由正六边形组成的正镶嵌图。六阶六边形镶嵌中六阶表示每个顶点都是六阶顶点，分支度为六，这代表着每个顶点都是6个六边形的公共顶点。[3]

标准化高斯曲率 编辑

在平面几何中，正六边形的内角为120度，而这种几何结构每个顶点都是6个不重叠的正六边形，其角的总和超过了360度因此无法在欧几里得平面上建构此种几何结构。而在双曲几何中，这样的六边形不被视为内角为120度的六边形，而是内角为60度的正六边形。在球面几何和双曲几何中，长度尺度都可以利用具有固定角度的等边三角形边长来定义。[4]以双曲几何为例，长度一般以绝对长度（一种特殊的长度单位，类似于球面几何中的距离之间的关系）来定义[5]，在这个定义下，六阶六边形镶嵌中的每个六边形可以再分成6个正三角形，每个正三角形的内角为30度[注 1]，因此对应的内角和为90度，角亏为90度。

外接球半径 编辑

就像球面几何一样，双曲几何也具有不为零的均匀曲率。因此也能够为双曲镶嵌图定义外接球半径，这个半径是一个纯虚数值，代表一个双曲超球体。[2]因此六阶六边形镶嵌的外接球是一个双曲超球体，对应的半径可以用一个复数来代表双曲平面的变换，其值为负八平方根的倒数：[3]

 

对称性 编辑

这个镶嵌代表一个由六条镜射线定义一个正六边形基本域的万花筒。这由六个三阶交叉反射性在轨型符号（英语：orbifold notation）中可以表示为(*333333)。在考斯特表示法可表示为[6*,6]，从三个的镜射线当中移除两条穿过六边形中心的镜射线。这个万花筒的奇数/偶数基本域可被视为是交替涂色的六阶六边形镶嵌。特别地，这样的几何结构可以用   来表示镶嵌。[6]

 

相关多面体与镶嵌 编辑

六角六片三角孔扭歪无限面体 编辑

 
六角六片三角孔扭歪无限面体与其对偶多面体的复合体
主条目：六角六片三角孔扭歪无限面体

六阶六边形镶嵌的结构可以转变成一种扭歪无限面体。这种扭歪无限面体同样是每个顶点都是6个正六边形的公共顶点，且能够存于欧几里得空间中。然而这样的几何结构中含有正三角形的孔洞。其面的布局正好是过截角交错立方体堆砌（英语：Quarter cubic honeycomb）的子集。[3]

六阶六边形镶嵌本身具备自身对偶的特性，其扭歪无限面体对应拓朴结构也具备自身对偶的特性，也就是说，六角六片三角孔扭歪无限面体的对偶多面体也是六角六片三角孔扭歪无限面体。[3]

双曲镶嵌 编辑

该镶嵌在拓朴学中也和每个顶点有着六个面的多面体及镶嵌相关，施莱夫利符号皆为{n,6}，而考斯特符号为     ，n从2到无穷。更一般地，这种立体也可以对应到     系列的一部分。[3]

球面镶嵌 双曲面镶嵌
 
{2,6}
      		 
{3,6}
      		 
{4,6}
      		 
{5,6}
      		 
{6,6}
      		 
{7,6}
      		 
{8,6}
      		...  
{∞,6}
     

由于{n,6}在n=6的例子上为自身对偶，因此其对应的对偶多面体群在拓朴学上和也可以视为是顶点图为（6n）的一系列的镶嵌的一部分。更一般地，{n,6}与{6,n}群在n=6时都可以对应到     系列的一部分。[3]

球面 欧氏 双曲镶嵌
 
{6,2}
      		 
{6,3}
      		 
{6,4}
      		 
{6,5}
      		 
{6,6}
      		 
{6,7}
      		 
{6,8}
      		...  
{6,∞}
     
退化 球面 欧氏 双曲镶嵌
                ...  
{0,0} {1,1} {2,2}
      		{3,3}
      		{4,4}
      		{5,5}
      		{6,6}
      		{7,7}
      		{8,8}
      		... {∞,∞}
     
六阶六边形相关镶嵌
对称性：[6,6], (*662)
      =    

=      

      =    

=      

      =    

=      

      =    

=      

      =    

=      

      =    

=      

      =   

=      

             
{6,6}

= h{4,6}

t{6,6}

= h2{4,6}

r{6,6}

{6,4}

t{6,6}

= h2{4,6}

{6,6}

= h{4,6}

rr{6,6}

r{6,4}

tr{6,6}

t{6,4}

对偶
                                         
             
             
V66 V6.12.12 V6.6.6.6 V6.12.12 V66 V4.6.4.6 V4.12.12
交错
[1+,6,6]

(*663)

[6+,6]

(6*3)

[6,1+,6]

(*3232)

[6,6+]

(6*3)

[6,6,1+]

(*663)

[(6,6,2+)]

(2*33)

[6,6]+

(662)

      =                 =                 =                
                                         
         
h{6,6} s{6,6} hr{6,6} s{6,6} h{6,6} hrr{6,6} sr{6,6}
交错对偶
                                         
V(3.6)6 V3.3.3.6.3.6 V(3.4)4 V3.3.3.6.3.6 V(3.6)6 V(3.4.4)2 V3.3.6.3.6

此外，六阶六边形镶嵌可以作为一些四维几何结构的胞，例如三阶的六阶六边形镶嵌蜂巢体（维基数据所列：Q108837071）（又称三阶的六阶六边形镶嵌堆砌）是一种由六阶六边形镶嵌构成的几何结构，三阶则代表每条棱为3个六阶六边形镶嵌的公共棱，其组成方式与立方体组成立方体堆砌的方式类似。然而三阶的六阶六边形镶嵌蜂巢体属于非紧空间几何结构，因此其除了可以透过双曲庞加莱球体来视觉化外，也可以从无穷远处的理想曲面（Ideal surface）来视觉化。[7]

  •  
    三阶的六阶六边形镶嵌蜂巢体由六阶六边形镶嵌组成
  •  
    三阶的六阶六边形镶嵌蜂巢体于理想曲面（Ideal surface）呈现的结构

参见 编辑

维基共享资源上的相关多媒体资源：六阶六边形镶嵌

注释 编辑

  1. ^ 正六边形分割成6个正三角形时，每个内角对应的顶点为2个正三角形的公共顶点。

参考资料 编辑

  1. ^ Chapter 10: Regular honeycombs in hyperbolic space. The Beauty of Geometry: Twelve Essays. Dover Publications. 1999. ISBN 0-486-40919-8. LCCN 99035678. 
  2. ^ 2.0 2.1 Klitzing, Richard. Hyperbolic Tesselations. bendwavy.org. [2021-09-05]. （原始内容存档于2021-08-09）. 
  3. ^ 3.0 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 Richard Klitzing. hyperbolic order 6 hexagonal tiling : hihexat. 3D convex uniform polyhedra. bendwavy. [2021-09-05]. （原始内容存档于2021-08-09）. 
  4. ^ Sommerville, D.M.Y. The elements of non-Euclidean geometry Unabr. and unaltered republ. Mineola, N.Y.: Dover Publications. 2005: 58. ISBN 0-486-44222-5. 
  5. ^ Needham, Tristan. Visual Complex Analysis. Oxford University Press. 1998: 270 [2021-09-10]. ISBN 9780198534464. （原始内容存档于2021-08-24）. 
  6. ^ John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass, The Symmetries of Things 2008, ISBN 978-1-56881-220-5 (Chapter 19, The Hyperbolic Archimedean Tessellations)
  7. ^ Nelson, Roice and Segerman, Henry. Visualizing hyperbolic honeycombs. Journal of Mathematics and the Arts (Taylor & Francis). 2017, 11 (1): 4––39 [2021-10-08]. （原始内容存档于2020-11-30）. 

外部链接 编辑

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