卡诺定理 (内切圆、外接圆)

设ABC为三角形,O为其外心。则O到ABC各边的距离之和为

其中r为内切圆半径,R为外接圆半径。这个定理叫做卡诺定理(法语:Théorème de Carnot),以拉扎尔·卡诺为名。

引理

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 中,  之外接圆半径,且  之内切圆半径,则

 

证明

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假设 为锐角三角形,  之外接圆圆心,  三边之距离分别为   ,其中   之距离,   之距离,   之距离。连接  ,在 中,根据三角形外心性质,可以得到

 
 

所以,可以得到 的表示式,

 

同理,亦可得到  的表示式,

 
 

因此,

 
 
 
 
 
 
 
 

根据引理,即可得证,

 

此外,若 为钝角三角形,且 大于 度,其余符号假设均与上面相同,则可以得到,

 
 
 

所以,

 
 
 

故得证卡诺定理。

参考资料

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