卡诺定理 (内切圆、外接圆)

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设ABC为三角形，O为其外心。则O到ABC各边的距离之和为

${\begin{aligned}&{}\qquad DG+DH+DF\\&{}=|DG|+|DH|-|DF|\\&{}=R+r\end{aligned}}$

$OO_{A}+OO_{B}+OO_{C}=R+r$，

其中r为内切圆半径，R为外接圆半径。这个定理叫做卡诺定理（法语：Théorème de Carnot），以拉扎尔·卡诺为名。

引理

在$\triangle ABC$中，$R$为$\triangle ABC$之外接圆半径，且$r$为$\triangle ABC$之内切圆半径，则

$r=4R\sin({\frac {A}{2}})\sin({\frac {B}{2}})\sin({\frac {C}{2}})$

证明

假设$\triangle ABC$为锐角三角形，$D$为$\triangle ABC$之外接圆圆心，$D$至$\triangle ABC$三边之距离分别为${\overline {DG}}$、${\overline {DH}}$、${\overline {DF}}$，其中${\overline {DG}}$为$D$至${\overline {AB}}$之距离，${\overline {DH}}$为$D$至${\overline {BC}}$之距离，${\overline {DF}}$为$D$至${\overline {AC}}$之距离。连接$D$与$B$，在$\triangle HDB$中，根据三角形外心性质，可以得到

${\overline {DB}}=R$

$\angle {HDB}=\angle {A}$

所以，可以得到${\overline {DH}}$的表示式，

${\overline {DH}}=R\cos(A)$

同理，亦可得到${\overline {DG}}$和${\overline {DF}}$的表示式，

${\overline {DG}}=R\cos(C)$

${\overline {DF}}=R\cos(B)$

因此，

${\overline {DG}}+{\overline {DH}}+{\overline {DF}}\,$

$=R(\cos(A)+\cos(B)+\cos(C))\,$

$=R(2\cos({\frac {A+B}{2}})\cos({\frac {A-B}{2}})+1-2\sin ^{2}({\frac {C}{2}}))\,$

$=R(2\cos({\frac {\pi -C}{2}})\cos({\frac {A-B}{2}})+1-2\sin({\frac {\pi -(A+B)}{2}})\sin({\frac {C}{2}}))\,$

$=R(2\sin({\frac {C}{2}})\cos({\frac {A-B}{2}})+1-2\cos({\frac {(A+B)}{2}})\sin({\frac {C}{2}}))\,$

$=R(2\sin({\frac {C}{2}})(\cos({\frac {A-B}{2}})-\cos({\frac {(A+B)}{2}}))+1)\,$

$=R(4\sin({\frac {A}{2}})\sin({\frac {B}{2}})\sin({\frac {C}{2}})+1)\,$

$=4R\sin({\frac {A}{2}})\sin({\frac {B}{2}})\sin({\frac {C}{2}})+R\,$

根据引理，即可得证，

${\overline {DG}}+{\overline {DH}}+{\overline {DF}}=R+r$

此外，若$\triangle ABC$为钝角三角形，且$\angle {B}$大于$90$度，其馀符号假设均与上面相同，则可以得到，

${\overline {DH}}=R\cos(A)\,$

${\overline {DF}}=R\cos(\pi -B)=-R\cos(B)\,$

${\overline {DG}}=R\cos(C)\,$

所以，

${\overline {DG}}+{\overline {DH}}-{\overline {DF}}\,$

$=R(\cos(A)+\cos(B)+\cos(C))\,$

$=R+r\,$

故得证卡诺定理。

参考资料

• Perrier, Frédéric. Carnot's Theorem in Trigonometric Disguise. The Mathematical Gazette. 2007-03, 91 (520): 115-117 [2023-05-15]. （原始内容存档于2020-10-20）.