卡諾定理 (內切圓、外接圓)

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設ABC為三角形，O為其外心。則O到ABC各邊的距離之和為

${\begin{aligned}&{}\qquad DG+DH+DF\\&{}=|DG|+|DH|-|DF|\\&{}=R+r\end{aligned}}$

$OO_{A}+OO_{B}+OO_{C}=R+r$，

其中r為內切圓半徑，R為外接圓半徑。這個定理叫做卡諾定理（法語：Théorème de Carnot），以拉扎爾·卡諾為名。

引理

在$\triangle ABC$中，$R$為$\triangle ABC$之外接圓半徑，且$r$為$\triangle ABC$之內切圓半徑，則

$r=4R\sin({\frac {A}{2}})\sin({\frac {B}{2}})\sin({\frac {C}{2}})$

證明

假設$\triangle ABC$為銳角三角形，$D$為$\triangle ABC$之外接圓圓心，$D$至$\triangle ABC$三邊之距離分別為${\overline {DG}}$、${\overline {DH}}$、${\overline {DF}}$，其中${\overline {DG}}$為$D$至${\overline {AB}}$之距離，${\overline {DH}}$為$D$至${\overline {BC}}$之距離，${\overline {DF}}$為$D$至${\overline {AC}}$之距離。連接$D$與$B$，在$\triangle HDB$中，根據三角形外心性質，可以得到

${\overline {DB}}=R$

$\angle {HDB}=\angle {A}$

所以，可以得到${\overline {DH}}$的表示式，

${\overline {DH}}=R\cos(A)$

同理，亦可得到${\overline {DG}}$和${\overline {DF}}$的表示式，

${\overline {DG}}=R\cos(C)$

${\overline {DF}}=R\cos(B)$

因此，

${\overline {DG}}+{\overline {DH}}+{\overline {DF}}\,$

$=R(\cos(A)+\cos(B)+\cos(C))\,$

$=R(2\cos({\frac {A+B}{2}})\cos({\frac {A-B}{2}})+1-2\sin ^{2}({\frac {C}{2}}))\,$

$=R(2\cos({\frac {\pi -C}{2}})\cos({\frac {A-B}{2}})+1-2\sin({\frac {\pi -(A+B)}{2}})\sin({\frac {C}{2}}))\,$

$=R(2\sin({\frac {C}{2}})\cos({\frac {A-B}{2}})+1-2\cos({\frac {(A+B)}{2}})\sin({\frac {C}{2}}))\,$

$=R(2\sin({\frac {C}{2}})(\cos({\frac {A-B}{2}})-\cos({\frac {(A+B)}{2}}))+1)\,$

$=R(4\sin({\frac {A}{2}})\sin({\frac {B}{2}})\sin({\frac {C}{2}})+1)\,$

$=4R\sin({\frac {A}{2}})\sin({\frac {B}{2}})\sin({\frac {C}{2}})+R\,$

根據引理，即可得證，

${\overline {DG}}+{\overline {DH}}+{\overline {DF}}=R+r$

此外，若$\triangle ABC$為鈍角三角形，且$\angle {B}$大於$90$度，其餘符號假設均與上面相同，則可以得到，

${\overline {DH}}=R\cos(A)\,$

${\overline {DF}}=R\cos(\pi -B)=-R\cos(B)\,$

${\overline {DG}}=R\cos(C)\,$

所以，

${\overline {DG}}+{\overline {DH}}-{\overline {DF}}\,$

$=R(\cos(A)+\cos(B)+\cos(C))\,$

$=R+r\,$

故得證卡諾定理。

參考資料

• Perrier, Frédéric. Carnot's Theorem in Trigonometric Disguise. The Mathematical Gazette. 2007-03, 91 (520): 115-117 [2023-05-15]. （原始內容存檔於2020-10-20）.