卡諾定理 (內切圓、外接圓)

設ABC為三角形,O為其外心。則O到ABC各邊的距離之和為

其中r為內切圓半徑,R為外接圓半徑。這個定理叫做卡諾定理(法語:Théorème de Carnot),以拉扎爾·卡諾為名。

引理

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 中,  之外接圓半徑,且  之內切圓半徑,則

 

證明

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假設 為銳角三角形,  之外接圓圓心,  三邊之距離分別為   ,其中   之距離,   之距離,   之距離。連接  ,在 中,根據三角形外心性質,可以得到

 
 

所以,可以得到 的表示式,

 

同理,亦可得到  的表示式,

 
 

因此,

 
 
 
 
 
 
 
 

根據引理,即可得證,

 

此外,若 為鈍角三角形,且 大於 度,其餘符號假設均與上面相同,則可以得到,

 
 
 

所以,

 
 
 

故得證卡諾定理。

參考資料

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