同伦群

在数学中，同伦群是拓扑空间的一种同伦不变量。同伦群的研究是同伦理论的基石之一，一般空间的同伦群极难计算，即使对球面 $S^{n}$ 的情形，至今也没有完整结果。

定义

设 $X$ 为拓扑空间而 $S^{n}$ 为 $n$ 维球面。选定基点 $a\in S^{n},x\in X$。定义 $\pi _{n}(X,x)$ 为 $[S^{n},X]$，也就是由保持基点的连续映射 $f:S^{n}\to X$ 的同伦类构成的集合。为了方便起见，以纬垂坐标表示球面上的点，即：$s_{1}\wedge \cdots \wedge s_{n}$ 表示 $(s_{1},\ldots ,s_{n})\in [0,1]^{n}$ 在商映射 $[0,1]^{n}\to [0,1]^{n}/\partial ([0,1]^{n})\simeq S^{n}$ 下的像。取 $S^{n}$ 的基点为 $a=0\wedge \cdots \wedge 0$。

注意到当 $n=0$ 时，$S^{0}=\{-1,1\}$ 而 $\pi _{0}(X,x)$ 的元素一一对应到 $X$ 的连通分支。

基本群的群运算

对于 $n\geq 1$，$\pi _{n}(X,x)$ 带有自然的群结构：首先，我们构造一个连续映射：

$s:S^{n}\to S^{n}\vee S^{n}$

在此 $S^{n}\vee S^{n}$ 定义为将两份 $S^{n}$ 沿基点黏合得到的拓扑空间。映射 $s$ 定义为

$s(x_{1}\wedge \cdots \wedge x_{n})={\begin{cases}x_{1}\wedge \cdots \wedge x_{n-1}\wedge (1-2x_{n}),&x_{n}\leq {\frac {1}{2}}\\x_{1}\wedge \cdots \wedge x_{n-1}\wedge (2x_{n}-1),&x_{n}\geq {\frac {1}{2}}\end{cases}}$

直观来看，$s$ 的效应相当于将球面 $S^{n}$ 沿赤道掐扁。

给定 $f,g:I^{n}\to X$，我们定义 $f*g:=(f\sqcup g)\circ s$，由于 $f(a)=g(a)=x$，此函数有完善的定义。此外也不难验证 $f*g$ 仅依赖于 $f,g$ 的同伦类。

可以证明运算 $f,g\mapsto f*g$ 满足群公理，其单位元素为常值映射 $\forall s\in S^{n},\;e(s)=x$。$\pi _{1}(X,x)$ 不外就是基本群；而当 $n\geq 2$ 时，$\pi _{n}(X,x)$ 是阿贝尔群，称为高阶同伦群。不同基点对应的同伦群只差一个自然同构。

若在定义中省掉基点，则得到的集合 $[S^{n},X]$ 等同于 $\pi _{n}(X,x)$ 在 $\pi _{1}(X,x)$ 作用下的轨道集。可见若 $\pi _{1}(X,x)\neq 0$，$[S^{n},X]$ 未必有自然的群结构。

纤维化导出长正合序列

设 $p:E\to B$ 为保基点的塞尔纤维化，纤维的同伦类定义为 $F$。此时可导出同伦群的长正合序列（以下略去基点）：

$\cdots \to \pi _{n}(F)\to \pi _{n}(E)\to \pi _{n}(B)\to \pi _{n-1}(F)\to \cdots \to \pi _{0}(E)\to \pi (B)\to 1$

尽管这里的 $\pi _{0}$ 只是个集合，而 $\pi _{1}$ 未必是阿贝尔群，它们仍带有特殊的元素（$\pi _{n\geq 1}$ 的单位元、$\pi _{0}$ 中包含基点的连通分支），可以用这些元素定义正合序列。

纤维化映射是计算高阶同伦群的基本手段。

相对同伦群

给定 $A\subset X$，可以定义相对同伦群 $\pi _{n}(X,A)$ 为映射 $f:(D^{n},S^{n-1})\to (X,x)$ 的同伦类，这意味著我们仅考虑满足 $f(S^{n-1})=x$ 的连续映射，以及其间满足相同限制的同伦。若取 $A$ 为一点，便回到同伦群的原始定义。相对同伦群也有纤维化长正合序列。

文献

• Hatcher, Allen, Algebraic topology, Cambridge University Press, 2002 [2008-04-15], ISBN 978-0-521-79540-1, （原始内容存档于2012-02-20）