点变换(point transformation)将广义坐标 变换成广义坐标 ,点变换方程的形式为
- ;
其中, 是时间。
在哈密顿力学里,由于广义坐标与广义动量 同样地都是自变量(independent variable),点变换的定义可以加以延伸,使变换方程成为
- ,
- ;
其中, 是新的广义动量。
为了分辨这两种不同的点变换,称前一种点变换为位形空间点变换,而后一种为相空间点变换。
在哈密顿力学里,正则变换将一组正则坐标 变换为一组新的正则坐标 ,而同时维持哈密顿方程的形式(称为形式不变性)。原本的哈密顿方程为
- ,
- ;
新的哈密顿方程为
- ,
- ;
其中, 、 分别为原本的哈密顿量与新的哈密顿量。
- 主项目:正则变换生成函数
采取一种间接的方法,称为生成函数方法,从 变换到 。为了要保证正则变换的正确性,第二组变数必须跟第一组变数一样地遵守哈密顿原理
- 、
- 。
那么,必须令
- ;
其中, 是标度因子, 是生成函数。
假若一个变换涉及标度因子,则称此变换为标度变换(scale transformation)。一般而言,标度因子不一定等于1。假若标度因子不等于1,则称此正则变换为延伸正则变换(extended canonical transformation);假若标度因子等于1,则称为正则变换。
任何延伸正则变换都可以修改为正则变换。假设一个 的延伸正则变换表示为
- 。
则可以设定另外一组变数与哈密顿量:
、
、
、
;其中, 是用来删除 的常数, 。经过一番运算,可以得到
- 、
- 、
- 。(1)
显然地,这变换符合哈密顿方程。所以,任何延伸正则变换都可以改变为正则变换。
假若正则变换不显性含时间,则称为设限正则变换(restricted canonical transformation)。
生成函数 的参数,除了时间以外,一半是旧的正则坐标;另一半是新的正则坐标。视选择出来不同的变数而定,一共有四种基本的生成函数。每一种基本生成函数设定一种变换,从旧的一组正则坐标变换为新的一组正则坐标。这变换 保证是正则变换。
第一型生成函数 只跟旧广义坐标、新广义坐标有关,
- 。
代入方程(1)。展开生成函数对于时间的全导数,
- 。
新广义坐标 和旧广义坐标 都是自变量,其对于时间的全导数 和 互相无关,所以,以下 个方程都必须成立:
- ,(2)
- ,(3)
- 。(4)
这 个方程设定了变换 ,步骤如下:
第一组的 个方程(2),设定了 的 个函数方程
- 。
在理想情况下,这些方程可以逆算出 的 个函数方程
- 。(5)
第二组的 个方程(3),设定了 的 个函数方程
- 。
代入函数方程(5),可以算出 的 个函数方程
- 。(6)
从 个函数方程(5)、(6),可以逆算出 个函数方程
- ,
- 。
代入新哈密顿量 的方程(4),可以得到
- 。
第二型生成函数 的参数是旧广义坐标 、新广义动量 与时间:
- ;
以下 方程设定了变换 :
- ,
- ,
- 。
第三型生成函数 的参数是旧广义动量 、新广义坐标 与时间:
- 。
以下 方程设定了变换 :
- ,
- ,
- 。
第四型生成函数 的参数是旧广义动量 、新广义动量 与时间:
- 。
以下 方程设定了变换 :
- ,
- ,
- 。
第一型生成函数有一个特别简易案例:
- 。
生成函数的导数分别为
- ,
- 。
旧的哈密顿量与新的哈密顿量相同:
- 。
再举一个比较复杂的例子。让
- ;
这里, 是一组 个函数。
答案是一个广义坐标的点变换,
- 。
正则变换必须满足哈密顿方程不变;哈密顿方程为正则变换的一个不变式。另外,正则变换也有几个重要的不变量。
辛标记提供了一种既简单,又有效率的标记方法来展示方程及数学运算。设定一个 的竖矩阵 :
- 。
变数矢量 将 与 包装在一起。这样,哈密顿方程可以简易的表示为
- ;
这里, 是辛连结矩阵、 是哈密顿量。
应用辛标记于正则变换,正则坐标会从旧正则坐标 改变成新正则坐标 , ;哈密顿量也从旧的哈密顿量 改变成新的哈密顿量 , ;但是,哈密顿方程的形式仍旧维持不变:
- ;
这里, 。
用第一型生成函数 ,则 。
取 关于时间 的导数,
- ;
这里, 是亚可比矩阵, 。
代入哈密顿方程,
- ;
假若限制正则变换为设限正则变换,也就是说,显性地不含时间,解答会简单许多。假若正则变换显性地含时间,则仍旧能得到与下述同样的答案[1],这是一个很好的偏导数习题。现在,限制这正则变换为设限正则变换,则简化后的方程为
- 。
而 ,所以,
- 。
代回前一个方程,取 的系数,则可以得到
- 。
经过一番运算,
- ;
- ;
可以求出辛条件:
- 。
在这里,得到了正则变换的辛条件:一个变换是正则变换,当且仅当辛条件成立。
在相空间里,两个函数 关于正则坐标 的帕松括号定义为
- 。
用辛标记,
- 。
立刻,可以得到下述关系:
- ,
- 。
定义基本帕松括号 为一个方矩阵,其中,元素 的值是 。那么,
- 。
思考一个变换 。新坐标的基本帕松括号为
- 。
这两个正则坐标的亚可比矩阵 是
- 。
代入前一个方程,则
- 。
假若这变换是正则变换,辛条件 必须成立,
- 。
相反地,假若 ,则辛条件成立,这变换是正则变换。
所以,一个变换是正则变换,当且仅当基本帕松括号关于任何正则坐标的值不变。当表示基本帕松括号时,我们可以忽略下标符号,直接表示为 ,而认定这基本帕松括号是关于正则坐标计算的值。
思考两个函数 对于正则坐标 的泊松括号
-
假若这变换是正则变换,辛条件 必须成立,
- 。
所以,任何两个函数关于正则坐标的帕松括号,都是正则变换的不变量。当表示帕松括号时,可以忽略下标符号,直接表示为 ,而认定这帕松括号是关于正则坐标计算的值。
- ^ Goldstein, Herbert. Classical Mechanics 3rd. United States of America: Addison Wesley. 1980: pp. 384. ISBN 0201657023 (英语).