e (数学常数)

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提示：此条目页的主题不是科学记数法。

$e$，亦称自然常数、自然底数，或是欧拉数（Euler's number），是无理数的数学常数，以瑞士数学家欧拉命名；还有个较少见的名字纳皮尔常数，用来纪念苏格兰数学家约翰·纳皮尔引进对数。它是一个无限不循环小数，数值约是（小数点后20位， A001113）：

欧拉数

欧拉数-1 欧拉数 欧拉数+1
数表—无理数 $\color {blue}{\sqrt {2}}$ - $\color {blue}\varphi$ - $\color {blue}{\sqrt {3}}$ - $\color {blue}{\sqrt {5}}$ - $\color {blue}\delta _{S}$ - $\color {blue}e$ - $\color {blue}\pi$
命名
名称	纳皮尔常数
识别
种类	无理数 超越数
发现	雅各布·伯努利
符号	$e$
位数数列编号	A001113
性质
定义	$e=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}$ $e=\lim _{t\to 0}(1+t)^{\frac {1}{t}}$
连分数（线性表示）	[2; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, 1, 8, 1, 1, 10, 1, 1, 12...]
以此为根的多项式或函数	$\int _{1}^{x}{\frac {\mathrm {d} t}{t}}=1$
表示方式
值	$e\approx$2.7182818285
无穷级数	$e=\sum \limits _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}$
二进制	10.101101111110000101010001…
八进制	2.557605213050535512465277…
十进制	2.718281828459045235360287…
十二进制	2.8752360698219BA71971009B…
十六进制	2.B7E151628AED2A6ABF715880…
六十进制	2;43,5,48,52,29,48,35,6,46,19,55…

$e$是使在$x=0$点上 $f(x)=a^{x}$（蓝色曲线）的导数（切线的斜率）值为1之$a$的唯一值。对比一下，函数$2^{x}$（虚点曲线）和$4^{x}$（虚线曲线）和斜率为1、y-截距为1的直线（红色）并不相切。

$e=2.71828182845904523536\cdots$，近似值为${\frac {271801}{99990}}$。

有许多的函数都和$e$有关：自然对数函数的底数即为$e$，数学中的指数函数也常是指以$e$为底数的指数函数。

历史

约翰·纳皮尔于1618年出版的对数著作附录中的一张表中第一次提到常数$e$，但它没有记录这常数，只有由它为底计算出的一张自然对数列表，通常认为这是由威廉·奥特雷德制作的。第一次把$e$看为常数的是雅各布·伯努利，他尝试计算下式的值：

$\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}$

上式代表把1与无穷小相加，再自乘无穷多次。

已知的第一次用到常数$e$，是莱布尼茨于1690年和1691年给惠更斯的通信，以$b$表示。1727年欧拉开始用$e$来表示这常数；而$e$第一次在出版物用到，是1736年欧拉的《力学》（Mechanica）。虽然往后年日有研究者用字母$c$表示，但$e$较常用，终于成为标准。

用$e$表示的原因确实不明，但可能因为$e$是指数函数（exponential）一字的首字母。另一看法则称$a,b,c,d$有其他经常用途，而$e$是第一个可用字母。

定义

就像圆周率$\pi$和虚数单位i，$e$是数学中最重要的常数之一。它有几种等价定义，下面列出一部分。

1. 定义$e$为下列极限值：

   $e=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}$

   $e=\lim _{t\to 0}(1+t)^{\frac {1}{t}}$

2. 定义$e$为阶乘倒数之无穷级数的和：

   $e=\sum _{n=0}^{\infty }{1 \over n!}={1 \over 0!}+{1 \over 1!}+{1 \over 2!}+{1 \over 3!}+{1 \over 4!}+\cdots$

   其中$n!$代表$n$的阶乘。

3. 定义$e$为唯一的正数$x$使得

   $\int _{1}^{x}{\frac {\mathrm {d} t}{t}}=1$

4. 定义$e$为唯一的实数$x$使得

   $\lim _{h\to 0}{\frac {x^{h}-1}{h}}=1$

这些定义可证明是等价的，请参见文章指数函数的特征描述。

性质

${\sqrt[{x}]{x}}$ 的极大值在$x=e$.

很多增长或衰减过程都可以用指数函数模拟。指数函数$e^{x}$的重要性在于，唯独该函数（或其常数倍，即$x\mapsto ke^{x}$，其中$k$为任意常数）与自身导数相等。即：

${\frac {d}{dx}}e^{x}=e^{x}$。

$e^{x}$的泰勒级数为$e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}\quad \forall x$

$=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+...$

$x$为复数时依然成立，因此根据$\sin x$及$\cos x$的泰勒级数，得出在数学中一条称为欧拉公式的重要等式：

$e^{\mathrm {i} x}=\cos x+{\rm {i}}\sin x$

当$x=\pi$的特例是欧拉恒等式：

$e^{\mathrm {i} \pi }+1=0$

此式被理查德·费曼称为“欧拉的宝石”。

$(\cos x+i\sin x)^{n}=\left(e^{ix}\right)^{n}=e^{inx}=\cos(nx)+i\sin(nx)$

即棣莫弗公式。

• $e$是无理数和超越数（见林德曼－魏尔斯特拉斯定理）。这是第一个获证为超越数的数，而非故意构造的（比较刘维尔数）；由夏尔·埃尔米特（Charles Hermite）于1873年证明。有猜想它为正规数。
• 当$x=e$时函数$f(x)={\sqrt[{x}]{x}}$有最大值。
• $e$的无穷连分数展开式有个有趣的模式，可以表示如下（ A003417）

$e=[2;1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8,1,1,10,1,1,12,\ldots ]$

就像以下的展开式：

$e=2+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{\mathbf {2} +{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{\mathbf {4} +{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{\mathbf {6} +{\cfrac {1}{1+\ddots }}}}}}}}}}}}}}}}}}$

无理数证明

反证法

证明$e$是无理数可以用反证法。假设$e$是有理数，则可以表示成${\frac {a}{b}}$ ，其中$a,b$为正整数。以$e$的无穷级数展开式可以得出矛盾。

考虑数字

$x=b!\left(e-\sum _{i=0}^{b}{1 \over i!}\right)$，

以下将推导出$x$是小于1的正整数；由于不存在这样的正整数，得出矛盾，所以得证$e$是无理数。

• $x$是整数，因为

  $0<x=b!\left(e-\sum _{i=0}^{b}{1 \over i!}\right)=b!\left({a \over b}-\sum _{i=0}^{b}{1 \over i!}\right)$

  $=a(b-1)!-\sum _{i=0}^{b}{b! \over i!}$

  $=a(b-1)!-\left[1+\sum _{n=0}^{b-1}b(b-1)\cdots (n+1)\right]$。

• $x$是小于1的正数，因为

  $0<x=b!\sum _{n=b+1}^{\infty }{1 \over n!}$

  $={\frac {1}{b+1}}+{\frac {1}{(b+1)(b+2)}}+{\frac {1}{(b+1)(b+2)(b+3)}}+\cdots$

  $<{\frac {1}{b+1}}+{\frac {1}{(b+1)^{2}}}+{\frac {1}{(b+1)^{3}}}+\cdots ={1 \over b}\leq 1$。

但是0与1之间（不含0与1）不存在有整数，故原先假设矛盾，得出$e$为无理数。

二项式定理

视$n$为存在的数值，所以用二项式定理可证出：

$e=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}$

$=\lim _{n\to \infty }\sum _{i=0}^{n}C_{i}^{n}1^{n-i}\left({\frac {1}{n}}\right)^{i}$

$=\lim _{n\to \infty }\left[C_{0}^{n}1^{n}\left({\frac {1}{n}}\right)^{0}+C_{1}^{n}1^{n-1}\left({\frac {1}{n}}\right)^{1}+C_{2}^{n}1^{n-2}\left({\frac {1}{n}}\right)^{2}+C_{3}^{n}1^{n-3}\left({\frac {1}{n}}\right)^{3}+...+C_{n}^{n}1^{0}\left({\frac {1}{n}}\right)^{n}\right]$

$=\lim _{n\to \infty }\left[1\times 1+n\times {\frac {1}{n}}+{\frac {n!}{\left(n-2\right)!2!}}\times {\frac {1}{n^{2}}}+{\frac {n!}{\left(n-3\right)!3!}}\times {\frac {1}{n^{3}}}+...+1\times {\frac {1}{n^{n}}}\right]$

$=\lim _{n\to \infty }\left[1+1+{\frac {n\times \left(n-1\right)}{2n^{2}}}+{\frac {n\times \left(n-1\right)\left(n-2\right)}{3\times 2n^{3}}}+...+{\frac {1}{n^{n}}}\right]$

$=2+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{6}}+...$

$=2.71828...$

已知位数

$e$的已知位数

日期	位数	计算者
1748年	18	李昂哈德·欧拉
1853年	137	William Shanks
1871年	205	William Shanks
1884年	346	J. M. Boorman
1946年	808	？
1949年	2,010	约翰·冯·诺伊曼
1961年	100,265	Daniel Shanks & 约翰·威廉·伦奇
1978年	116,000	史蒂芬·盖瑞·沃兹尼克
1994年	10,000,000	Robert Nemiroff & Jerry Bonnell
1997年5月	18,199,978	Patrick Demichel
1997年8月	20,000,000	Birger Seifert
1997年9月	50,000,817	Patrick Demichel
1999年2月	200,000,579	Sebastian Wedeniwski
1999年10月	869,894,101	Sebastian Wedeniwski
1999年11月21日	1,250,000,000	Xavier Gourdon
2000年7月10日	2,147,483,648	近藤茂、Xavier Gourdon
2000年7月16日	3,221,225,472	Colin Martin、Xavier Gourdon
2000年8月2日	6,442,450,944	近藤茂、Xavier Gourdon
2000年8月16日	12,884,901,000	近藤茂、Xavier Gourdon
2003年8月21日	25,100,000,000	近藤茂、Xavier Gourdon
2003年9月18日	50,100,000,000	近藤茂、Xavier Gourdon
2007年4月27日	100,000,000,000	近藤茂、Steve Pagliarulo
2009年5月6日	200,000,000,000	近藤茂、Steve Pagliarulo
2010年2月21日	500,000,000,000	余智恒（Alexander J. Yee）
2010年7月5日	1,000,000,000,000	近藤茂、余智恒（Alexander J. Yee）
2014年11月15日	1,048,576,000,000	David Galilei Natale

谐取

• 在Google2004年的首次公开募股，集资额不是通常的整头数，而是$2,718,281,828，这当然是取最接近整数的$e$十亿美元。Google2005年的一次公开募股中，集资额是$14,159,265，与圆周率有关。
• Google也是首先在硅谷心脏地带，接着在马萨诸塞州剑桥出现的神秘广告版 的幕后黑手，它写着{first 10-digit prime found in consecutive digits of e}.com（在$e$的连续数字中第一个发现的十位素数.com）。解决了这问题（第一个$e$中的十位素数是7427466391，出奇地到很后才出现，由第100个数字开始），进入网站后还有个更难的题目要解决，最后会到达Google的招聘页。但这个挑战已结束，上述网站都已关闭。
• 著名计算机科学家高德纳的软件Metafont的软件版本号趋向$e$（就是说版本号码是2，2.7，2.71，2.718等），与之相对的有TeX的软件版本号号是趋向于圆周率的。

参见

• e的π次方
• 无理数
• 超越数
• 欧拉数
• 圆周率
• 指数函数
• 自然对数