e (數學常數)
,亦稱自然常數、自然底數,或是尤拉數(Euler's number),是無理數的數學常數,以瑞士數學家尤拉命名;還有個較少見的名字納皮爾常數,用來紀念蘇格蘭數學家約翰·納皮爾引進對數。它是一個無限不循環小數,數值約是(小數點後20位, A001113):
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![]() | ||
命名 | ||
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名稱 | 納皮爾常數 | |
識別 | ||
種類 | 無理數 超越數 | |
發現 | 雅各布·伯努利 | |
符號 | ||
位數數列編號 | ![]() | |
性質 | ||
定義 | ||
連分數(線性表示) | [2; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, 1, 8, 1, 1, 10, 1, 1, 12...] | |
以此為根的多項式或函數 | ||
表示方式 | ||
值 | 2.7182818284 | |
無窮級數 | ||
二進位 | 10.101101111110000101010001…[1] | |
八進位 | 2.557605213050535512465277…[2] | |
十進位 | 2.718281828459045235360287… | |
十二進位 | 2.8752360698219BA71971009B…[3] | |
十六進位 | 2.B7E151628AED2A6ABF715880…[4] | |
六十進位 | 2;43,5,48,52,29,48,35,6,46,19,55… | |
各式各樣的數 |
基本 |
延伸 |
其他 |
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/50/Exp_derivative_at_0.svg/255px-Exp_derivative_at_0.svg.png)
- ,近似值為。
歷史
編輯約翰·納皮爾於1618年出版的對數著作附錄中的一張表中第一次提到常數 ,但它沒有記錄這常數,只有由它為底計算出的一張自然對數列表,通常認為這是由威廉·奧特雷德製作的。第一次把 看為常數的是雅各布·伯努利,他嘗試計算下式的值:
已知的第一次用到常數 ,是萊布尼茨於1690年和1691年給惠更斯的通信,以 表示。1727年尤拉開始用 來表示這常數;而 第一次在出版物用到,是1736年尤拉的《力學》(Mechanica)。雖然往後年日有研究者用字母 表示,但 較常用,終於成為標準。
用 表示的原因確實不明,但可能因為 是指數函數(exponential)一字的首字母。另一看法則稱 有其他經常用途,而 是第一個可用字母。
定義
編輯就像圓周率 和虛數單位i, 是數學中最重要的常數之一。它有幾種等價定義,下面列出一部分。
這些定義可證明是等價的,請參見文章指數函數的特徵描述。
性質
編輯很多增長或衰減過程都可以用指數函數模擬。指數函數 的重要性在於,唯獨該函數(或其常數倍,即 ,其中 為任意常數)與自身導數相等。即:
- 。
- 的泰勒級數為
為複數時依然成立,因此根據 及 的泰勒級數,得出在數學中一條稱為尤拉公式的重要等式:
當 的特例是尤拉恆等式:
此式被理察·費曼稱為「尤拉的寶石」。
即棣美弗公式。
- 是無理數和超越數(見林德曼-魏爾斯特拉斯定理)。這是第一個獲證為超越數的數,而非故意構造的(比較劉維爾數);由夏爾·埃爾米特(Charles Hermite)於1873年證明。有猜想它為正規數。
- 當 時函數 有最大值。
- 的無窮連分數展開式有個有趣的模式,可以表示如下( A003417)
就像以下的展開式:
無理數證明
編輯證明 是無理數可以用反證法。假設 是有理數,則可以表示成 ,其中 為正整數。以 的無窮級數展開式可以得出矛盾。
考慮數字
- ,
以下將推導出 是小於1的正整數;由於不存在這樣的正整數,得出矛盾,所以得證 是無理數。
- 是整數,因為
- 。
- 是小於1的正數,因為
- 。
但是0與1之間(不含0與1)不存在有整數,故原先假設矛盾,得出 為無理數。
二項式定理
編輯視 為存在的數值,所以用二項式定理可證出:
已知位數
編輯日期 | 位數 | 計算者 |
---|---|---|
1748年 | 18 | 李昂哈德·尤拉 |
1853年 | 137 | William Shanks |
1871年 | 205 | William Shanks |
1884年 | 346 | J. M. Boorman |
1946年 | 808 | ? |
1949年 | 2,010 | 約翰·馮·諾伊曼 |
1961年 | 100,265 | Daniel Shanks & 約翰·威廉·倫奇 |
1978年 | 116,000 | 史蒂芬·蓋瑞·沃茲尼克 |
1994年 | 10,000,000 | Robert Nemiroff & Jerry Bonnell |
1997年5月 | 18,199,978 | Patrick Demichel |
1997年8月 | 20,000,000 | Birger Seifert |
1997年9月 | 50,000,817 | Patrick Demichel |
1999年2月 | 200,000,579 | Sebastian Wedeniwski |
1999年10月 | 869,894,101 | Sebastian Wedeniwski |
1999年11月21日 | 1,250,000,000 | Xavier Gourdon |
2000年7月10日 | 2,147,483,648 | 近藤茂、Xavier Gourdon |
2000年7月16日 | 3,221,225,472 | Colin Martin、Xavier Gourdon |
2000年8月2日 | 6,442,450,944 | 近藤茂、Xavier Gourdon |
2000年8月16日 | 12,884,901,000 | 近藤茂、Xavier Gourdon |
2003年8月21日 | 25,100,000,000 | 近藤茂、Xavier Gourdon |
2003年9月18日 | 50,100,000,000 | 近藤茂、Xavier Gourdon |
2007年4月27日 | 100,000,000,000 | 近藤茂、Steve Pagliarulo |
2009年5月6日 | 200,000,000,000 | 近藤茂、Steve Pagliarulo |
2010年2月21日 | 500,000,000,000 | 余智恆(Alexander J. Yee) |
2010年7月5日 | 1,000,000,000,000 | 近藤茂、余智恆(Alexander J. Yee) |
2014年11月15日 | 1,048,576,000,000 | David Galilei Natale |
諧取
編輯- 在Google2004年的首次公開募股,集資額不是通常的整頭數,而是$2,718,281,828,這當然是取最接近整數的 十億美元。Google2005年的一次公開募股中,集資額是$14,159,265,與圓周率有關。
- Google也是首先在矽谷心臟地帶,接著在麻薩諸塞州劍橋出現的神祕廣告版 的幕後黑手,它寫著{first 10-digit prime found in consecutive digits of e}.com(在 的連續數字中第一個發現的十位質數.com)。解決了這問題(第一個 中的十位質數是7427466391,出奇地到很後才出現,由第100個數字開始),進入網站後還有個更難的題目要解決,最後會到達Google的招聘頁。但這個挑戰已結束,上述網站都已關閉。
- 著名電腦科學家高德納的軟體Metafont的軟體版本號趨向 (就是說版本號碼是2,2.7,2.71,2.718等),與之相對的有TeX的軟體版本號號是趨向於圓周率的。
參見
編輯參考文獻
編輯- ^ Sloane, N.J.A. (編). Sequence A004593 (Expansion of e in base 2). The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation.
- ^ Sloane, N.J.A. (編). Sequence A004599 (Expansion of e in base 8). The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation.
- ^ Sloane, N.J.A. (編). Sequence A027606 (e in duodecimal). The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation.
- ^ Sloane, N.J.A. (編). Sequence A170873 (Hexadecimal expansion of e). The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation.
- ^ Iwanami Sūgaku Jiten Fourth, Tokyo: Iwanami Shoten, 2007, ISBN 978-4-00-080309-0, MR 2383190 (日語) 142.D
- ^ Sebah, P. and Gourdon, X.; The constant e and its computation (頁面存檔備份,存於網際網路檔案館)
- ^ Gourdon, X.; Reported large computations with PiFast (頁面存檔備份,存於網際網路檔案館)