投射分解

在同调代数中，一个阿贝尔范畴 ${\mathcal {A}}$ 中的对象 $A$ 之投射分解定义为一个正合序列

$\cdots \longrightarrow P_{n}\longrightarrow P_{n-1}\longrightarrow \cdots \longrightarrow P_{0}\longrightarrow A\longrightarrow 0$

或简写成 $P_{\bullet }\rightarrow A\rightarrow 0$，使得其中每个 $P_{n}$ 皆为投射对象。对任一对象 $A$，任两个投射分解至多差一个链复形的同伦等价。

若 ${\mathcal {A}}$ 中的每个对象都有投射分解，则称 ${\mathcal {A}}$ 有充足的投射元，这类范畴上能以投射分解开展同调代数的研究。典型例子包括：

• 环 $R$ 上的模构成之范畴 $\mathbf {Mod} _{R}$，这是交换代数的主要对象。模上投射分解的特例是自由分解，此时我们要求每个 $P_{\bullet }$ 都是自由模；由于任何模均可表成自由模的商，自由分解总是存在的。希尔伯特合冲定理断言：若取 $R$ 为域上的多项式环，则自由分解在有限步之内停止。
• 群 $G$ 的 $G$-模范畴 $G-\mathbf {Mod}$，也就是带有 $G$ 的群作用的阿贝尔群，此范畴上能定义群上同调。

反例则包括一般概形 $X$ 上的凝聚层范畴 $\mathbf {Coh} _{X}$。

与此对偶的概念是内射分解。