对于巴拿赫代数
A
{\displaystyle {\mathcal {A}}}
中的成员
a
{\displaystyle a}
,若要将其谱
σ
(
a
)
{\displaystyle \sigma (a)}
上的多项式函数演算 推广到谱上的连续函数,似乎有一个明显的思路:依照魏尔施特拉斯逼近定理 用多项式来逼近连续函数,然后将多项式中的数换成
A
{\displaystyle {\mathcal {A}}}
中成员
a
{\displaystyle a}
,再证明这些
a
{\displaystyle a}
的多项式序列 收敛为
A
{\displaystyle {\mathcal {A}}}
中元素。
谱集
σ
(
a
)
⊂
C
{\displaystyle \sigma (a)\subset \mathbb {C} }
上的连续函数由
z
{\displaystyle z}
和
z
¯
{\displaystyle {\overline {z}}}
的形如
p
(
z
,
z
¯
)
=
∑
k
,
l
=
0
N
c
k
,
l
z
k
z
¯
l
(
c
k
,
l
∈
C
)
{\displaystyle p(z,{\overline {z}})=\sum _{k,l=0}^{N}c_{k,l}z^{k}{\overline {z}}^{l}\;\left(c_{k,l}\in \mathbb {C} \right)}
的多项式来逼近,其中
z
¯
{\displaystyle {\overline {z}}}
表示
z
{\displaystyle z}
的复共轭 ,而复共轭是复数 上的一个对合 。在将
z
{\displaystyle z}
替换为
a
{\displaystyle a}
时,为使
z
¯
{\displaystyle {\overline {z}}}
也有对应,须考虑
A
{\displaystyle {\mathcal {A}}}
为巴拿赫*-代数 ,即配备了一个对合运算
∗
{\displaystyle *}
的巴拿赫代数,这时
z
¯
{\displaystyle {\overline {z}}}
就被替换为
a
∗
{\displaystyle a^{*}}
。由于多项式环
C
[
z
,
z
¯
]
{\displaystyle \mathbb {C} [z,{\overline {z}}]}
是交换环 ,为得到一个
C
[
z
,
z
¯
]
→
A
{\displaystyle {\mathbb {C} }[z,{\overline {z}}]\rightarrow {\mathcal {A}}}
的代数同态 ,须限制在
A
{\displaystyle {\mathcal {A}}}
中的正规元(即满足
a
∗
a
=
a
a
∗
{\displaystyle a^{*}a=aa^{*}}
的成员)上。
须保证:若多项式序列
(
p
n
(
z
,
z
¯
)
)
n
{\displaystyle (p_{n}(z,{\overline {z}}))_{n}}
在
σ
(
a
)
{\displaystyle \sigma (a)}
上一致收敛 于一连续函数
f
{\displaystyle f}
,则
A
{\displaystyle {\mathcal {A}}}
上的序列
(
p
n
(
a
,
a
∗
)
)
n
{\displaystyle (p_{n}(a,a^{*}))_{n}}
收敛于
f
(
a
)
∈
A
{\displaystyle f(a)\in {\mathcal {A}}}
。对这个收敛性的问题进行细致分析之后,就会发现有必要采用C*-代数。这些考量最终将导向所谓的连续函数演算。
连续函数演算
Φ
a
{\displaystyle \Phi _{a}}
是到
a
{\displaystyle a}
和
e
{\displaystyle e}
所生成的C*-子代数
C
∗
(
a
,
e
)
{\displaystyle C^{*}(a,e)}
的等距同构 ,即:
∀
f
∈
C
(
σ
(
a
)
)
,
‖
Φ
a
(
f
)
‖
=
‖
f
‖
σ
(
a
)
.
{\displaystyle \forall f\in {\mathcal {C}}(\sigma (a)),\quad \left\|\Phi _{a}(f)\right\|=\left\|f\right\|_{\sigma (a)}.}
于是
Φ
a
{\displaystyle \Phi _{a}}
显然是连续的。
Φ
a
(
C
(
σ
(
a
)
)
)
=
C
∗
(
a
,
e
)
⊆
A
,
{\displaystyle \Phi _{a}\left({\mathcal {C}}(\sigma (a))\right)=C^{*}(a,e)\subseteq {\mathcal {A}},}
也就是说
C
∗
(
a
,
e
)
{\displaystyle C^{*}(a,e)}
是连续函数演算的值域。
由于
a
{\displaystyle a}
是
A
{\displaystyle {\mathcal {A}}}
中的正规元,由
a
{\displaystyle a}
和
e
{\displaystyle e}
生成的C*-子代数是一个交换代数 。特别地,
f
(
a
)
{\displaystyle f(a)}
也是一个正规元,且函数演算的所有成员间都对易 。
全纯函数演算 可无歧义地扩张 为连续函数演算。因此,连续函数演算在多项式
p
(
z
,
z
¯
)
{\displaystyle p(z,{\overline {z}})}
上重合于多项式函数演算:
∀
c
k
,
l
∈
C
,
Φ
a
(
p
(
z
,
z
¯
)
)
=
p
(
a
,
a
∗
)
=
∑
k
,
l
=
0
N
c
k
,
l
a
k
(
a
∗
)
l
,
{\displaystyle \forall c_{k,l}\in \mathbb {C} ,\quad \Phi _{a}(p(z,{\overline {z}}))=p(a,a^{*})=\sum _{k,l=0}^{N}c_{k,l}a^{k}(a^{*})^{l},}
其中
p
(
z
,
z
¯
)
=
∑
k
,
l
=
0
N
c
k
,
l
z
k
z
¯
l
{\displaystyle p(z,{\overline {z}})=\sum _{k,l=0}^{N}c_{k,l}z^{k}{\overline {z}}^{l}}
。
对于
σ
(
a
)
{\displaystyle \sigma (a)}
上一致收敛于函数
f
∈
C
(
σ
(
a
)
)
{\displaystyle f\in {\mathcal {C}}(\sigma (a))}
的函数序列
f
n
∈
C
(
σ
(
a
)
)
{\displaystyle f_{n}\in {\mathcal {C}}(\sigma (a))}
,
f
n
(
a
)
{\displaystyle f_{n}(a)}
收敛于
f
(
a
)
{\displaystyle f(a)}
。对于
σ
(
a
)
{\displaystyle \sigma (a)}
上绝对 且一致 地收敛的幂级数
f
(
z
)
=
∑
n
=
0
∞
c
n
z
n
{\textstyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}z^{n}}
,就有
f
(
a
)
=
∑
n
=
0
∞
c
n
a
n
{\textstyle f(a)=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}a^{n}}
。
若有
f
∈
C
(
σ
(
a
)
)
{\displaystyle f\in {\mathcal {C}}(\sigma (a))}
和
g
∈
C
(
σ
(
f
(
a
)
)
)
{\displaystyle g\in {\mathcal {C}}(\sigma (f(a)))}
,那么它们的函数演算的复合 满足
(
g
∘
f
)
(
a
)
=
g
(
f
(
a
)
)
{\displaystyle (g\circ f)(a)=g(f(a))}
。
设有两个正规元
a
,
b
∈
A
N
{\displaystyle a,b\in {\mathcal {A}}_{N}}
满足
f
(
a
)
=
f
(
b
)
{\displaystyle f(a)=f(b)}
,且无论限制在
σ
(
a
)
{\displaystyle \sigma (a)}
还是
σ
(
b
)
{\displaystyle \sigma (b)}
上时
g
{\displaystyle g}
都是
f
{\displaystyle f}
的反函数 ,那么必然有
a
=
b
{\displaystyle a=b}
,因为
a
=
(
f
∘
g
)
(
a
)
=
f
(
g
(
a
)
)
=
f
(
g
(
b
)
)
=
(
f
∘
g
)
(
b
)
=
b
{\displaystyle a=(f\circ g)(a)=f(g(a))=f(g(b))=(f\circ g)(b)=b}
。
谱映射定理
∀
f
∈
C
(
σ
(
a
)
)
,
σ
(
f
(
a
)
)
=
f
(
σ
(
a
)
)
{\displaystyle \forall f\in {\mathcal {C}}(\sigma (a)),\quad \sigma (f(a))=f(\sigma (a))}
也成立。
对于
b
∈
A
{\displaystyle b\in {\mathcal {A}}}
,若有
a
b
=
b
a
{\displaystyle ab=ba}
,那么也有
∀
f
∈
C
(
σ
(
a
)
)
,
f
(
a
)
b
=
b
f
(
a
)
.
{\displaystyle \forall f\in {\mathcal {C}}(\sigma (a)),\quad f(a)b=bf(a).}
也就是说若
b
{\displaystyle b}
与
a
{\displaystyle a}
对易,则它也与
a
{\displaystyle a}
的在连续函数下的像
f
(
a
)
{\displaystyle f(a)}
对易。
设
Ψ
:
A
→
B
{\displaystyle \Psi \colon {\mathcal {A}}\rightarrow {\mathcal {B}}}
是C*-代数
A
{\displaystyle {\mathcal {A}}}
和
B
{\displaystyle {\mathcal {B}}}
间的保单位元 的*-同态,那么
Ψ
{\displaystyle \Psi }
与连续函数演算间的复合是对易的。也就是说:
∀
f
∈
C
(
σ
(
a
)
)
,
Ψ
(
f
(
a
)
)
=
f
(
Ψ
(
a
)
)
.
{\displaystyle \forall f\in C(\sigma (a)),\quad \Psi (f(a))=f(\Psi (a)).}
特别地,连续函数演算与盖尔范德表示是对易的。
利用谱映射定理,具有某些性质的函数可以直接关联到C*-代数成员的某些性质:
f
(
a
)
{\displaystyle f(a)}
是可逆元 当且仅当
f
{\displaystyle f}
在
σ
(
a
)
{\displaystyle \sigma (a)}
上没有零点 。于是有
f
(
a
)
−
1
=
1
f
(
a
)
{\textstyle f(a)^{-1}={\tfrac {1}{f}}(a)}
。
f
(
a
)
{\displaystyle f(a)}
是自伴元 当且仅当
f
{\displaystyle f}
是实值函数,也就是
σ
(
a
)
⊆
{
0
,
1
}
{\displaystyle \sigma (a)\subseteq \{0,1\}}
说
f
(
σ
(
a
)
)
⊆
R
{\displaystyle f(\sigma (a))\subseteq \mathbb {R} }
.
f
(
a
)
{\displaystyle f(a)}
是正元 (
f
(
a
)
≥
0
{\displaystyle f(a)\geq 0}
)当且仅当
f
≥
0
{\displaystyle f\geq 0}
,也就是说
f
(
σ
(
a
)
)
⊆
[
0
,
∞
)
{\displaystyle f(\sigma (a))\subseteq [0,\infty )}
.
f
(
a
)
{\displaystyle f(a)}
是幺正元 ,若
f
{\displaystyle f}
的值落在复单位圆 中。也就是说,
f
(
σ
(
a
)
)
⊆
T
=
{
λ
∈
C
∣
‖
λ
‖
=
1
}
.
{\displaystyle f(\sigma (a))\subseteq \mathbb {T} =\{\lambda \in \mathbb {C} \mid \left\|\lambda \right\|=1\}.}
f
(
a
)
{\displaystyle f(a)}
是一个投影 ,若
f
{\displaystyle f}
仅取值
0
{\displaystyle 0}
或
1
{\displaystyle 1}
,也就是说
f
(
σ
(
a
)
)
⊆
{
0
,
1
}
{\displaystyle f(\sigma (a))\subseteq \{0,1\}}
.
这些断言的基础是关于特定元素的谱的结论,这些结论会在§ 应用 一节中展示。
在
A
{\displaystyle {\mathcal {A}}}
是希尔伯特空间
H
{\displaystyle H}
上的有界算子所构C*-代数
B
(
H
)
{\displaystyle {\mathcal {B}}(H)}
的特殊情况下,正规算子
T
∈
B
(
H
)
{\displaystyle T\in {\mathcal {B}}(H)}
的对应特征值
λ
∈
σ
(
T
)
{\displaystyle \lambda \in \sigma (T)}
的特征向量
v
∈
H
{\displaystyle v\in H}
也将是算子
f
(
T
)
{\displaystyle f(T)}
关于特征值
f
(
λ
)
∈
σ
(
f
(
T
)
)
{\displaystyle f(\lambda )\in \sigma (f(T))}
的特征向量。设
T
v
=
λ
v
{\displaystyle Tv=\lambda v}
, 则
∀
f
∈
σ
(
T
)
,
f
(
T
)
v
=
f
(
λ
)
v
{\displaystyle \forall f\in \sigma (T),\quad f(T)v=f(\lambda )v}
。
下面给出连续函数演算的众多应用中一些典型且非常简单的例子。
设
A
{\displaystyle {\mathcal {A}}}
是一个C*-代数而
a
∈
A
N
{\displaystyle a\in {\mathcal {A}}_{N}}
为其中一个正规元,则对于谱
σ
(
a
)
{\displaystyle \sigma (a)}
有以下结论:
a
{\displaystyle a}
是自伴元当且仅当
σ
(
a
)
⊆
R
.
{\displaystyle \sigma (a)\subseteq \mathbb {R} .}
a
{\displaystyle a}
是幺正元当且仅当
σ
(
a
)
⊆
T
=
{
λ
∈
C
∣
‖
λ
‖
=
1
}
.
{\displaystyle \sigma (a)\subseteq \mathbb {T} =\{\lambda \in \mathbb {C} \mid \left\|\lambda \right\|=1\}.}
a
{\displaystyle a}
是一个投影当且仅当
σ
(
a
)
⊆
{
0
,
1
}
{\displaystyle \sigma (a)\subseteq \{0,1\}}
.
证明
正规元
a
∈
A
{\displaystyle a\in {\mathcal {A}}}
的连续函数演算
Φ
a
{\displaystyle \Phi _{a}}
是一个保单位元的*-同态,因此若
Id
∈
C
(
σ
(
a
)
)
{\displaystyle \operatorname {Id} \in {\mathcal {C}}(\sigma (a))}
是自伴的/幺正的/投影,则
a
{\displaystyle a}
也相应地成为自伴元/幺正元/投影。
Id
{\displaystyle \operatorname {Id} }
自伴的充要条件是
∀
z
∈
σ
(
a
)
,
z
=
Id
(
z
)
=
Id
¯
(
z
)
=
z
¯
,
{\displaystyle \forall z\in \sigma (a),\quad z={\text{Id}}(z)={\overline {\text{Id}}}(z)={\overline {z}},}
即
σ
(
a
)
{\displaystyle \sigma (a)}
是实的。
Id
{\displaystyle {\text{Id}}}
幺正的充要条件是
∀
z
∈
σ
(
a
)
,
1
=
Id
(
z
)
Id
¯
(
z
)
=
z
z
¯
=
|
z
|
2
,
{\displaystyle \forall z\in \sigma (a),\quad 1={\text{Id}}(z){\overline {\operatorname {Id} }}(z)=z{\overline {z}}=|z|^{2},}
即
σ
(
a
)
⊆
{
λ
∈
C
|
‖
λ
‖
=
1
}
{\displaystyle \sigma (a)\subseteq \{\lambda \in \mathbb {C} \ |\ \left\|\lambda \right\|=1\}}
。
Id
{\displaystyle {\text{Id}}}
成为投影的充要条件是
(
Id
(
z
)
)
2
=
Id
(
z
)
=
Id
(
z
)
,
¯
{\displaystyle (\operatorname {Id} (z))^{2}=\operatorname {Id} }(z)={\overline {\operatorname {Id} (z),}}
即
∀
z
∈
σ
(
a
)
,
z
2
=
z
=
z
¯
,
{\displaystyle \forall z\in \sigma (a),\quad z^{2}=z={\overline {z}},}
或者说
σ
(
a
)
⊆
{
0
,
1
}
{\displaystyle \sigma (a)\subseteq \{0,1\}}
。
设
a
{\displaystyle a}
是 C*-代数
A
{\displaystyle {\mathcal {A}}}
中的正元,那么对于每一个
n
∈
N
{\displaystyle n\in \mathbb {N} }
存在一个唯一确定的正元
b
∈
A
+
{\displaystyle b\in {\mathcal {A}}_{+}}
满足
b
n
=
a
{\displaystyle b^{n}=a}
,即唯一的
n
{\displaystyle n}
次方根。
若
a
∈
A
s
a
{\displaystyle a\in {\mathcal {A}}_{sa}}
是自伴元,则至少有:对于每个奇数
n
∈
N
{\displaystyle n\in \mathbb {N} }
,存在唯一确定的自伴元
b
∈
A
s
a
{\displaystyle b\in {\mathcal {A}}_{sa}}
满足
b
n
=
a
{\displaystyle b^{n}=a}
。
类似地,对于C*-代数
A
{\displaystyle {\mathcal {A}}}
中正元
a
{\displaystyle a}
和任意
α
≥
0
{\displaystyle \alpha \geq 0}
,
a
α
{\displaystyle a^{\alpha }}
唯一定义了一个
C
∗
(
a
)
{\displaystyle C^{*}(a)}
中的正元,并满足
∀
α
,
β
≥
0
,
a
α
a
β
=
a
α
+
β
.
{\displaystyle \forall \alpha ,\beta \geq 0,\quad a^{\alpha }a^{\beta }=a^{\alpha +\beta }.}
若
a
{\displaystyle a}
是可逆元,则还可以推广到取负值的
α
{\displaystyle \alpha }
。
若
a
∈
A
{\displaystyle a\in {\mathcal {A}}}
且
a
∗
a
{\displaystyle a^{*}a}
是正元,那么绝对值可由连续函数演算定义为
|
a
|
=
a
∗
a
{\displaystyle |a|={\sqrt {a^{*}a}}}
,因为它在正实数上连续。
设
a
{\displaystyle a}
是C*-代数
A
{\displaystyle {\mathcal {A}}}
中的自伴元,则存在正元
a
+
,
a
−
∈
A
+
{\displaystyle a_{+},a_{-}\in {\mathcal {A}}_{+}}
,使得
a
=
a
+
−
a
−
{\displaystyle a=a_{+}-a_{-}}
和
a
+
a
−
=
a
−
a
+
=
0
{\displaystyle a_{+}a_{-}=a_{-}a_{+}=0}
成立。
a
+
{\displaystyle a_{+}}
和
a
−
{\displaystyle a_{-}}
也被称为正部和负部 。此外还有
|
a
|
=
a
+
+
a
−
{\displaystyle |a|=a_{+}+a_{-}}
。
证明
函数
f
+
(
z
)
=
max
(
z
,
0
)
{\displaystyle f_{+}(z)=\max(z,0)}
和
f
−
(
z
)
=
−
min
(
z
,
0
)
{\displaystyle f_{-}(z)=-\min(z,0)}
是
σ
(
a
)
⊆
R
{\displaystyle \sigma (a)\subseteq \mathbb {R} }
上的连续函数且满足
Id
(
z
)
=
z
=
f
+
(
z
)
−
f
−
(
z
)
,
{\displaystyle \operatorname {Id} (z)=z=f_{+}(z)-f_{-}(z),}
f
+
(
z
)
f
−
(
z
)
=
f
−
(
z
)
f
+
(
z
)
=
0.
{\displaystyle f_{+}(z)f_{-}(z)=f_{-}(z)f_{+}(z)=0.}
设
a
+
=
f
+
(
a
)
,
a
−
=
f
−
(
a
)
{\displaystyle a_{+}=f_{+}(a),a_{-}=f_{-}(a)}
,由谱映射定理可知
a
+
{\displaystyle a_{+}}
和
a
−
{\displaystyle a_{-}}
是正元,且有:
a
=
Id
(
a
)
=
(
f
+
−
f
−
)
(
a
)
=
f
+
(
a
)
−
f
−
(
a
)
=
a
+
−
a
−
,
{\displaystyle a=\operatorname {Id} (a)=(f_{+}-f_{-})(a)=f_{+}(a)-f_{-}(a)=a_{+}-a_{-},}
a
+
a
−
=
f
+
(
a
)
f
−
(
a
)
=
(
f
+
f
−
)
(
a
)
=
0
=
(
f
−
f
+
)
(
a
)
=
f
−
(
a
)
f
+
(
a
)
=
a
−
a
+
.
{\displaystyle a_{+}a_{-}=f_{+}(a)f_{-}(a)=(f_{+}f_{-})(a)=0=(f_{-}f_{+})(a)=f_{-}(a)f_{+}(a)=a_{-}a_{+}.}
此外,
f
+
(
z
)
+
f
−
(
z
)
=
|
z
|
=
z
∗
z
=
z
2
,
{\displaystyle f_{+}(z)+f_{-}(z)=|z|={\sqrt {z^{*}z}}={\sqrt {z^{2}}},}
故
a
+
+
a
−
=
f
+
(
a
)
+
f
−
(
a
)
=
|
a
|
=
a
∗
a
=
a
2
.
{\displaystyle a_{+}+a_{-}=f_{+}(a)+f_{-}(a)=|a|={\sqrt {a^{*}a}}={\sqrt {a^{2}}}.}
若
a
{\displaystyle a}
是有单位元
e
{\displaystyle e}
的C*-代数
A
{\displaystyle {\mathcal {A}}}
中的自伴元,那么
u
=
e
i
a
{\displaystyle u=\mathrm {e} ^{\mathrm {i} a}}
是幺正元,其中
i
{\displaystyle \mathrm {i} }
表示虚数单位 。反过来,若
u
∈
A
U
{\displaystyle u\in {\mathcal {A}}_{U}}
是一个幺正元且其谱是复单位圆的真子集 (即
σ
(
u
)
⊊
T
{\displaystyle \sigma (u)\subsetneq \mathbb {T} }
),那么存在一个自伴元
a
∈
A
s
a
{\displaystyle a\in {\mathcal {A}}_{sa}}
满足
u
=
e
i
a
{\displaystyle u=\mathrm {e} ^{\mathrm {i} a}}
。
设
A
{\displaystyle {\mathcal {A}}}
是一个有单位元的C*-代数,其中有一个正规元
a
∈
A
N
{\displaystyle a\in {\mathcal {A}}_{N}}
。假设谱由
n
{\displaystyle n}
个两两不相交的 闭 子集
σ
k
⊂
C
,
(
1
≤
k
≤
n
)
{\displaystyle \sigma _{k}\subset \mathbb {C} ,\ (1\leq k\leq n)}
构成,也就是说
σ
(
a
)
=
σ
1
⊔
⋯
⊔
σ
n
{\displaystyle \sigma (a)=\sigma _{1}\sqcup \cdots \sqcup \sigma _{n}}
。那么就存在投影
p
1
,
…
,
p
n
∈
A
{\displaystyle p_{1},\ldots ,p_{n}\in {\mathcal {A}}}
,使得下面的命题对任意
j
≥
1
,
k
≤
n
{\displaystyle j\geq 1,k\leq n}
都成立:
投影的谱满足
σ
(
p
k
)
=
σ
k
.
{\displaystyle \sigma (p_{k})=\sigma _{k}.}
投影与
a
{\displaystyle a}
对易,即
p
k
a
=
a
p
k
.
{\displaystyle p_{k}a=ap_{k}.}
投影是正交 的,即
p
j
p
k
=
δ
j
k
p
k
.
{\displaystyle p_{j}p_{k}=\delta _{jk}p_{k}.}
投影之和为单位元,即
∑
k
=
1
n
p
k
=
e
.
{\displaystyle \sum _{k=1}^{n}p_{k}=e.}
特别是,有分解
a
=
∑
k
=
1
n
a
k
{\textstyle a=\sum _{k=1}^{n}a_{k}}
,其中
∀
1
≤
k
≤
n
,
σ
(
a
k
)
=
σ
k
.
{\displaystyle \forall 1\leq k\leq n,\sigma (a_{k})=\sigma _{k}.}
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