連續函數演算

數學中,特別是在算子理論C*-代數理論中,連續函數演算是一種允許將連續函數作用於C*-代數中的正規元函數演算

在進階的理論中,這種函數演算的應用非常自然,以至於往往它甚至不會被提及。毫不誇張地說,連續函數演算將C*-代數與更一般的巴拿赫代數區分了開來,對於後者只能定義全純函數演算

動機

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對於巴拿赫代數   中的成員   ,若要將其   上的多項式函數演算推廣到譜上的連續函數,似乎有一個明顯的思路:依照魏爾施特拉斯逼近定理用多項式來逼近連續函數,然後將多項式中的數換成   中成員   ,再證明這些   的多項式序列收斂為   中元素。

譜集   上的連續函數由    的形如   的多項式來逼近,其中   表示  復共軛,而復共軛是複數上的一個對合。在將   替換為   時,為使   也有對應,須考慮   為巴拿赫*-代數,即配備了一個對合運算   的巴拿赫代數,這時   就被替換為   。由於多項式環  交換環,為得到一個  代數同態,須限制在   中的正規元(即滿足   的成員)上。

須保證:若多項式序列   一致收斂於一連續函數   ,則   上的序列   收斂於   。對這個收斂性的問題進行細緻分析之後,就會發現有必要採用C*-代數。這些考量最終將導向所謂的連續函數演算。

定義

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連續函數演算 — 設有單位元   的C*-代數   中有一正規元   ,而    譜集   上的連續函數所構成的交換C*-代數。於是存在唯一一個*-同態   滿足    ,其中常值函數   滿足   恆等映射[1]

該*-同態   稱為正規元  連續函數演算,通常也記作  [2]

由於*-同態性質,有以下對任意函數  純量   有效的計算規則: [3]

  •  
(線性)
  •  
(乘法)
  •  
(對合)

因此,可以同尋常連續函數那樣看待連續函數在正規元上的推廣,它的上述代數運算性質同尋常的連續複函數情況沒有區別。

對於單位元的要求並不是一個強的限制。如果需要,可以添加一個單位元英語Rng (algebra)#Adjoining an identity element (Dorroh extension),得到一個擴大了的C*-代數   。對於   和滿足    ,有   [4]

下面給出連續函數演算的存在性和唯一性的證明概要:

連續函數演算的存在性的證明

    所生成的C*-子代數   中的譜和在   中時是一樣的,於是證明了  [5] 實際的構造幾乎直接可從蓋爾范德表示英語Gelfand representation中得出:只需設   是某個緊空間   上的連續函數所構成的C*-代數並定義  [6]

連續函數演算的唯一性的證明

考慮到    已被固定,由於要求   為*-同態,它對於所有的多項式   來說已經唯一定義。根據魏爾施特拉斯逼近定理,它們構成了   的一個稠密子代數。因此   是唯一的。[6]

泛函分析中,常對正規算子   的連續函數演算感興趣,即  希爾伯特空間   上的有界算子所構成的C*-代數   的情況。在文獻中,通常僅對此情況的自伴算子的連續函數演算作了證明。在這種情況下,證明不需要用到蓋爾范德表示。 [7]

性質

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到子代數的等距同構

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連續函數演算   是到    所生成的C*-子代數  等距同構,即:[6]

  •  於是  顯然是連續的。
  •   也就是說   是連續函數演算的值域。

由於    中的正規元,由    生成的C*-子代數是一個交換代數。特別地,   也是一個正規元,且函數演算的所有成員間都對易[3]

與其他函數演算的關係

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全純函數演算可無歧義地擴張為連續函數演算。[8]因此,連續函數演算在多項式   上重合於多項式函數演算[2]  其中  

對於   上一致收斂於函數   的函數序列    收斂於  [9]對於  絕對一致地收斂的冪級數   ,就有  [10]

反函數的連續函數演算

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若有    ,那麼它們的函數演算的複合滿足  [4]

設有兩個正規元   滿足   ,且無論限制在   還是   上時   都是  反函數,那麼必然有   ,因為  [11]

譜映射定理

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譜映射定理   也成立[6]

對於   ,若有   ,那麼也有   也就是說若    對易,則它也與   的在連續函數下的像   對易。[12]

與*-同態相容

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  是C*-代數    間的保單位元的*-同態,那麼   與連續函數演算間的複合是對易的。也就是說:   特別地,連續函數演算與蓋爾范德表示是對易的。[3]

函數性質與像的性質間的關係

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利用譜映射定理,具有某些性質的函數可以直接關聯到C*-代數成員的某些性質[13]

  •  可逆元若且唯若    上沒有零點[14]於是有  [15]
  •  自伴元若且唯若   是實值函數,也就是  .
  •  正元  )若且唯若   ,也就是說  .
  •  么正元,若   的值落在復單位圓中。也就是說,  
  •   是一個投影,若   僅取值    ,也就是說  .

這些斷言的基礎是關於特定元素的譜的結論,這些結論會在§ 應用一節中展示。

有界算子代數的譜

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  是希爾伯特空間   上的有界算子所構C*-代數   的特殊情況下,正規算子   的對應特徵值  特徵向量   也將是算子   關於特徵值   的特徵向量。設   , 則  [16]

應用

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下面給出連續函數演算的眾多應用中一些典型且非常簡單的例子。

  是一個C*-代數而   為其中一個正規元,則對於譜   有以下結論[13]

  •   是自伴元若且唯若  
  •   是么正元若且唯若  
  •   是一個投影若且唯若  .
證明[2]

正規元   的連續函數演算   是一個保單位元的*-同態,因此若   是自伴的/么正的/投影,則   也相應地成為自伴元/么正元/投影。

  1.   自伴的充要條件是    是實的。
  2.   么正的充要條件是   
  3.   成為投影的充要條件是    或者說  

開方

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  是 C*-代數   中的正元,那麼對於每一個   存在一個唯一確定的正元   滿足   ,即唯一的   次方根。[17]

證明

對於每個   ,開方函數    上的連續函數。若通過連續函數演算來定義   ,那麼根據連續函數演算的性質有  

根據譜映射定理可知   也就是說   是正元。[17]

設有另一正元   滿足   ,則有   ,因為正實數上的開方函數是函數   的反函數。[11]

  是自伴元,則至少有:對於每個奇數   ,存在唯一確定的自伴元   滿足  [18]

類似地,對於C*-代數   中正元   和任意    唯一定義了一個   中的正元,並滿足    是可逆元,則還可以推廣到取負值的  [17]

絕對值

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   是正元,那麼絕對值可由連續函數演算定義為   ,因為它在正實數上連續。[19]

  是C*-代數   中的自伴元,則存在正元   ,使得    成立。    也被稱為正部和負部[20]此外還有  [21]

證明

函數     上的連續函數且滿足

  •  
  •  

  ,由譜映射定理可知    是正元,且有[20]

  •  
  •  

此外[21]  

么正元

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  是有單位元   的C*-代數   中的自伴元,那麼   是么正元,其中   表示虛數單位。反過來,若   是一個么正元且其譜是復單位圓的真子集(即   ),那麼存在一個自伴元   滿足  [22]

證明[22]

定義函數   ,由於   的自伴性使得   ,那麼    的譜上有定義。取   ,由於   ,根據函數演算性質可知   ,也就是說   是么正元。

對於第二個命題,現在將   限制到區間   上(其中   ),從而可以定義其反函數   ,且   在譜集   上有定義,且是其上的實值連續函數。那麼它的連續函數函數演算就會將   映為自伴元  


譜分解定理

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  是一個有單位元的C*-代數,其中有一個正規元   。假設譜由   個兩兩不相交的子集   構成,也就是說   。那麼就存在投影   ,使得下面的命題對任意   都成立:[23]

  1. 投影的譜滿足  
  2. 投影與   對易,即  
  3. 投影是正交的,即  
  4. 投影之和為單位元,即  

特別是,有分解   ,其中  

證明[23]

由於   是閉的,故其指示函數    上連續,可以定義其連續函數演算。

  。 由於   兩兩不交,有

  •  
  •  

從而由指示函數的連續函數演算所得的   滿足性質3、4。

性質2則可由   證明。

註釋

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  1. ^ Dixmier 1977,第12-13頁.
  2. ^ 2.0 2.1 2.2 Kadison & Ringrose 1983,第272頁.
  3. ^ 3.0 3.1 3.2 Dixmier 1977,第5,13頁.
  4. ^ 4.0 4.1 Dixmier 1977,第14頁.
  5. ^ Dixmier 1977,第11頁.
  6. ^ 6.0 6.1 6.2 6.3 Dixmier 1977,第13頁.
  7. ^ Reed & Simon 1980,第222-223頁.
  8. ^ Kaniuth 2009,第147頁.
  9. ^ Blackadar 2006,第62頁.
  10. ^ Deitmar & Echterhoff 2014,第55頁.
  11. ^ 11.0 11.1 Kadison & Ringrose 1983,第275頁.
  12. ^ Kadison & Ringrose 1983,第239頁.
  13. ^ 13.0 13.1 Kadison & Ringrose 1983,第271頁.
  14. ^ Kaballo 2014,第332頁.
  15. ^ Schmüdgen 2012,第93頁.
  16. ^ Reed & Simon 1980,第222頁.
  17. ^ 17.0 17.1 17.2 Kadison & Ringrose 1983,第248-249頁.
  18. ^ Blackadar 2006,第63頁.
  19. ^ Blackadar 2006,第64-65頁.
  20. ^ 20.0 20.1 Kadison & Ringrose 1983,第246頁.
  21. ^ 21.0 21.1 Dixmier 1977,第15頁.
  22. ^ 22.0 22.1 Kadison & Ringrose 1983,第274-275頁.
  23. ^ 23.0 23.1 Kaballo 2014,第375頁.

參考資料

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  • Blackadar, Bruce. Operator Algebras. Theory of C*-Algebras and von Neumann Algebras.. Berlin/Heidelberg: Springer. 2006. ISBN 3-540-28486-9. 
  • Deitmar, Anton; Echterhoff, Siegfried. Principles of Harmonic Analysis. Second Edition.. Springer. 2014. ISBN 978-3-319-05791-0. 
  • Dixmier, Jacques. Les C*-algèbres et leurs représentations. Gauthier-Villars. 1969 (法語). 
  • Dixmier, Jacques. C*-algebras. 由Jellett, Francis翻譯. Amsterdam/New York/Oxford: North-Holland. 1977. ISBN 0-7204-0762-1.  English translation of Les C*-algèbres et leurs représentations. Gauthier-Villars. 1969 (法語). 
  • Kaballo, Winfried. Aufbaukurs Funktionalanalysis und Operatortheorie.. Berlin/Heidelberg: Springer. 2014. ISBN 978-3-642-37794-5 (德語). 
  • Kadison, Richard V.; Ringrose, John R. Fundamentals of the Theory of Operator Algebras. Volume 1 Elementary Theory.. New York/London: Academic Press. 1983. ISBN 0-12-393301-3. 
  • Kaniuth, Eberhard. A Course in Commutative Banach Algebras.. Springer. 2009. ISBN 978-0-387-72475-1. 
  • Schmüdgen, Konrad. Unbounded Self-adjoint Operators on Hilbert Space.. Springer. 2012. ISBN 978-94-007-4752-4. 
  • Reed, Michael; Simon, Barry. Methods of modern mathematical physics. vol. 1. Functional analysis. San Diego, CA: Academic Press. 1980. ISBN 0-12-585050-6. 
  • Takesaki, Masamichi. Theory of Operator Algebras I.. Heidelberg/Berlin: Springer. 1979. ISBN 3-540-90391-7. 

外部連結

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