连续函数演算

数学中,特别是在算子理论C*-代数理论中,连续函数演算是一种允许将连续函数作用于C*-代数中的正规元函数演算

在进阶的理论中,这种函数演算的应用非常自然,以至于往往它甚至不会被提及。毫不夸张地说,连续函数演算将C*-代数与更一般的巴拿赫代数区分了开来,对于后者只能定义全纯函数演算

动机

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对于巴拿赫代数   中的成员   ,若要将其   上的多项式函数演算推广到谱上的连续函数,似乎有一个明显的思路:依照魏尔施特拉斯逼近定理用多项式来逼近连续函数,然后将多项式中的数换成   中成员   ,再证明这些   的多项式序列收敛为   中元素。

谱集   上的连续函数由    的形如   的多项式来逼近,其中   表示  复共轭,而复共轭是复数上的一个對合。在将   替换为   时,为使   也有对应,须考虑   为巴拿赫*-代数,即配备了一个对合运算   的巴拿赫代数,这时   就被替换为   。由于多项式环  交换环,为得到一个  代數同態,须限制在   中的正规元(即满足   的成员)上。

须保证:若多项式序列   一致收斂于一连续函数   ,则   上的序列   收敛于   。对这个收敛性的问题进行细致分析之后,就会发现有必要采用C*-代数。这些考量最终将导向所谓的连续函数演算。

定义

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连续函数演算 — 设有单位元   的C*-代数   中有一正规元   ,而    谱集   上的连续函数所构成的交换C*-代数。于是存在唯一一个*-同态   满足    ,其中常值函数   满足   恒等映射[1]

该*-同态   称为正规元  连续函数演算,通常也记作  [2]

由于*-同态性质,有以下对任意函数  标量   有效的计算规则: [3]

  •  
(线性)
  •  
(乘法)
  •  
(对合)

因此,可以同寻常连续函数那样看待连续函数在正规元上的推广,它的上述代数运算性质同寻常的连续复函数情况没有区别。

对于单位元的要求并不是一个强的限制。如果需要,可以添加一个单位元英语Rng (algebra)#Adjoining an identity element (Dorroh extension),得到一个扩大了的C*-代数   。对于   和满足    ,有   [4]

下面给出连续函数演算的存在性和唯一性的证明概要:

连续函数演算的存在性的证明

    所生成的C*-子代数   中的谱和在   中时是一样的,于是证明了  [5] 实际的构造几乎直接可从盖尔范德表示英语Gelfand representation中得出:只需设   是某个紧空间   上的连续函数所构成的C*-代数并定义  [6]

连续函数演算的唯一性的证明

考虑到    已被固定,由于要求   为*-同态,它对于所有的多项式   来说已经唯一定义。根据魏尔施特拉斯逼近定理,它们构成了   的一个稠密子代数。因此   是唯一的。[6]

泛函分析中,常对正规算子   的连续函数演算感兴趣,即  希尔伯特空间   上的有界算子所构成的C*-代数   的情况。在文献中,通常仅对此情况的自伴算子的连续函数演算作了证明。在这种情况下,证明不需要用到盖尔范德表示。 [7]

性质

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到子代数的等距同构

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连续函数演算   是到    所生成的C*-子代数  等距同构,即:[6]

  •  于是  显然是连续的。
  •   也就是说   是连续函数演算的值域。

由于    中的正规元,由    生成的C*-子代数是一个交换代数。特别地,   也是一个正规元,且函数演算的所有成员间都对易[3]

与其他函数演算的关系

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全纯函数演算可无歧义地扩张为连续函数演算。[8]因此,连续函数演算在多项式   上重合于多项式函数演算[2]  其中  

对于   上一致收敛于函数   的函数序列    收敛于  [9]对于  绝对一致地收敛的幂级数   ,就有  [10]

反函数的连续函数演算

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若有    ,那么它们的函数演算的复合满足  [4]

设有两个正规元   满足   ,且无论限制在   还是   上时   都是  反函数,那么必然有   ,因为  [11]

谱映射定理

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谱映射定理   也成立[6]

对于   ,若有   ,那么也有   也就是说若    对易,则它也与   的在连续函数下的像   对易。[12]

与*-同态相容

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  是C*-代数    间的保单位元的*-同态,那么   与连续函数演算间的复合是对易的。也就是说:   特别地,连续函数演算与盖尔范德表示是对易的。[3]

函数性质与像的性质间的关系

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利用谱映射定理,具有某些性质的函数可以直接关联到C*-代数成员的某些性质[13]

  •  可逆元当且仅当    上没有零点[14]于是有  [15]
  •  自伴元当且仅当   是实值函数,也就是  .
  •  正元  )当且仅当   ,也就是说  .
  •  幺正元,若   的值落在复单位圆中。也就是说,  
  •   是一个投影,若   仅取值    ,也就是说  .

这些断言的基础是关于特定元素的谱的结论,这些结论会在§ 应用一节中展示。

有界算子代数的谱

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  是希尔伯特空间   上的有界算子所构C*-代数   的特殊情况下,正规算子   的对应特征值  特征向量   也将是算子   关于特征值   的特征向量。设   , 则  [16]

应用

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下面给出连续函数演算的众多应用中一些典型且非常简单的例子。

  是一个C*-代数而   为其中一个正规元,则对于谱   有以下结论[13]

  •   是自伴元当且仅当  
  •   是幺正元当且仅当  
  •   是一个投影当且仅当  .
证明[2]

正规元   的连续函数演算   是一个保单位元的*-同态,因此若   是自伴的/幺正的/投影,则   也相应地成为自伴元/幺正元/投影。

  1.   自伴的充要条件是    是实的。
  2.   幺正的充要条件是   
  3.   成为投影的充要条件是    或者说  

开方

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  是 C*-代数   中的正元,那么对于每一个   存在一个唯一确定的正元   满足   ,即唯一的   次方根。[17]

证明

对于每个   ,开方函数    上的连续函数。若通过连续函数演算来定义   ,那么根据连续函数演算的性质有  

根据谱映射定理可知   也就是说   是正元。[17]

设有另一正元   满足   ,则有   ,因为正实数上的开方函数是函数   的反函数。[11]

  是自伴元,则至少有:对于每个奇数   ,存在唯一确定的自伴元   满足  [18]

类似地,对于C*-代数   中正元   和任意    唯一定义了一个   中的正元,并满足    是可逆元,则还可以推广到取负值的  [17]

绝对值

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   是正元,那么绝对值可由连续函数演算定义为   ,因为它在正实数上连续。[19]

  是C*-代数   中的自伴元,则存在正元   ,使得    成立。    也被称为正部和负部[20]此外还有  [21]

证明

函数     上的连续函数且满足

  •  
  •  

  ,由谱映射定理可知    是正元,且有[20]

  •  
  •  

此外[21]  

幺正元

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  是有单位元   的C*-代数   中的自伴元,那么   是幺正元,其中   表示虚数单位。反过来,若   是一个幺正元且其谱是复单位圆的真子集(即   ),那么存在一个自伴元   满足  [22]

证明[22]

定义函数   ,由于   的自伴性使得   ,那么    的谱上有定义。取   ,由于   ,根据函数演算性质可知   ,也就是说   是幺正元。

对于第二个命题,现在将   限制到区间   上(其中   ),从而可以定义其反函数   ,且   在谱集   上有定义,且是其上的实值连续函数。那么它的连续函数函数演算就会将   映为自伴元  


谱分解定理

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  是一个有单位元的C*-代数,其中有一个正规元   。假设谱由   个两两不相交的子集   构成,也就是说   。那么就存在投影   ,使得下面的命题对任意   都成立:[23]

  1. 投影的谱满足  
  2. 投影与   对易,即  
  3. 投影是正交的,即  
  4. 投影之和为单位元,即  

特别是,有分解   ,其中  

证明[23]

由于   是闭的,故其指示函数    上连续,可以定义其连续函数演算。

  。 由于   两两不交,有

  •  
  •  

从而由指示函数的连续函数演算所得的   满足性质3、4。

性质2则可由   证明。

注释

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  1. ^ Dixmier 1977,第12-13頁.
  2. ^ 2.0 2.1 2.2 Kadison & Ringrose 1983,第272頁.
  3. ^ 3.0 3.1 3.2 Dixmier 1977,第5,13頁.
  4. ^ 4.0 4.1 Dixmier 1977,第14頁.
  5. ^ Dixmier 1977,第11頁.
  6. ^ 6.0 6.1 6.2 6.3 Dixmier 1977,第13頁.
  7. ^ Reed & Simon 1980,第222-223頁.
  8. ^ Kaniuth 2009,第147頁.
  9. ^ Blackadar 2006,第62頁.
  10. ^ Deitmar & Echterhoff 2014,第55頁.
  11. ^ 11.0 11.1 Kadison & Ringrose 1983,第275頁.
  12. ^ Kadison & Ringrose 1983,第239頁.
  13. ^ 13.0 13.1 Kadison & Ringrose 1983,第271頁.
  14. ^ Kaballo 2014,第332頁.
  15. ^ Schmüdgen 2012,第93頁.
  16. ^ Reed & Simon 1980,第222頁.
  17. ^ 17.0 17.1 17.2 Kadison & Ringrose 1983,第248-249頁.
  18. ^ Blackadar 2006,第63頁.
  19. ^ Blackadar 2006,第64-65頁.
  20. ^ 20.0 20.1 Kadison & Ringrose 1983,第246頁.
  21. ^ 21.0 21.1 Dixmier 1977,第15頁.
  22. ^ 22.0 22.1 Kadison & Ringrose 1983,第274-275頁.
  23. ^ 23.0 23.1 Kaballo 2014,第375頁.

参考资料

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  • Blackadar, Bruce. Operator Algebras. Theory of C*-Algebras and von Neumann Algebras.. Berlin/Heidelberg: Springer. 2006. ISBN 3-540-28486-9. 
  • Deitmar, Anton; Echterhoff, Siegfried. Principles of Harmonic Analysis. Second Edition.. Springer. 2014. ISBN 978-3-319-05791-0. 
  • Dixmier, Jacques. Les C*-algèbres et leurs représentations. Gauthier-Villars. 1969 (法语). 
  • Dixmier, Jacques. C*-algebras. 由Jellett, Francis翻译. Amsterdam/New York/Oxford: North-Holland. 1977. ISBN 0-7204-0762-1.  English translation of Les C*-algèbres et leurs représentations. Gauthier-Villars. 1969 (法语). 
  • Kaballo, Winfried. Aufbaukurs Funktionalanalysis und Operatortheorie.. Berlin/Heidelberg: Springer. 2014. ISBN 978-3-642-37794-5 (德语). 
  • Kadison, Richard V.; Ringrose, John R. Fundamentals of the Theory of Operator Algebras. Volume 1 Elementary Theory.. New York/London: Academic Press. 1983. ISBN 0-12-393301-3. 
  • Kaniuth, Eberhard. A Course in Commutative Banach Algebras.. Springer. 2009. ISBN 978-0-387-72475-1. 
  • Schmüdgen, Konrad. Unbounded Self-adjoint Operators on Hilbert Space.. Springer. 2012. ISBN 978-94-007-4752-4. 
  • Reed, Michael; Simon, Barry. Methods of modern mathematical physics. vol. 1. Functional analysis. San Diego, CA: Academic Press. 1980. ISBN 0-12-585050-6. 
  • Takesaki, Masamichi. Theory of Operator Algebras I.. Heidelberg/Berlin: Springer. 1979. ISBN 3-540-90391-7. 

外部链接

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