量子谐振子

(重定向自量子簡諧振子

量子力学里,量子谐振子(英语:quantum harmonic oscillator)是经典谐振子的延伸。其为量子力学中数个重要的模型系统中的一者,因为一任意在稳定平衡点附近可以用谐振子势来近似。此外,其也是少数几个存在简单解析解的量子系统。量子谐振子可用来近似描述分子振动

一维谐振子

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哈密顿算符与能量本征态

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能量最低的八个束缚本征态的波函数表征(n = 0到7)。横轴表示位置x。此图未经归一化

在一维谐振子问题中,一个质量为m的粒子,受到一位势 。此粒子的哈密顿算符

 

其中x位置算符,而p动量算符 。第一项代表粒子动能,而第二项代表粒子处在其中的势能。为了要找到能级以相对应的能量本征态,必须解所谓的“定态薛定谔方程”:

 .

在坐标基底下可以解这个微分方程,用到幂级数方法。可以见到有一族的解:

 
 

前8个解(n = 0到7)如右图。函数 埃尔米特多项式

 

注意到不应将之与哈密顿算符搞混,尽管哈密顿算符也标作H。相应的能级为

 
 
束缚本征态之概率密度n(x)|²,从最底部的基态(n = 0)开始,往上能量逐渐增加。横轴表示位置x,而较亮的色彩代表较高的概率密度。

值得注意的是能谱,理由有三。首先,能量被“量子化”(quantized),而只能有离散的值——即 乘以1/2, 3/2, 5/2……等等。这是许多量子力学系统的特征。在尔后的“阶梯算符”段落,将对此现象做更详细的检视。再者,可有的最低能量(当n = 0)不为零,而是 ,被称为“基态能量”或零点能量。在基态中,根据量子力学,一振子执行所谓的“零振动”(null oscillations)且其平均动能是正值。这样的现象意义重大但并不那么显而易见,因为通常能量的零点并非一个有意义的物理量,因为可以任意选择;有意义的是能量差。虽然如此,基态能量有许多的意涵,特别是在量子引力。最后一个理由为能级值是等距的,不像玻尔模型盒中粒子问题那样。

注意到基态的概率密度集中在原点。这表示粒子多数时间处在势阱的底部,合乎对于一几乎不带能量之状态的预期。当能量增加时,概率密度变成集中在“经典转向点”(classical turning points),其中状态能量等同于势能。这样的结果与经典谐振子相一致;经典的描述下,粒子多数时间处在(而更有机会被发现在)转向点,因为在此处粒子速度最慢。因此满足对应原理

阶梯算符方法

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前述的幂级数解虽然直观,但显得相当繁复。阶梯算符方法起自保罗·狄拉克,允许抽像求得能量本征值,而不用直接解微分方程。此外,此法很容易推广到更复杂的问题,尤其是在量子场论中。跟从此方法,定义算符a与其伴随算符(adjoint)a

 

算符a并非厄米算符(Hermitian),因其与伴随算符a并不相同。

算符aa有如下性质:

 

在推导a形式的过程中,已用到算符xp(代表可观测量)为厄米算符这样的事实。这些可观测量算符可以被表示为阶梯算符的线性组合:

 

xp算符遵守下面的等式,称之为正则对易关系

 .

方程中的方括号是常用的标记机器,称为交换子交换算符对易算符,其定义为

 .

利用上面关系,可以证明如下等式:

 
 .

现在,让 代表带有能量E的能量本征态。任何右括矢量(ket)与自身的内积必须是非负值,因此

 

aa以哈密顿算符表示:

 

因此 。注意到当( )为零右括矢量(亦即:长度为零的右括矢量),则不等式饱和而 。很直观地,可以检查到存在有一状态满足此条件——前面段落所提到的基态(n = 0)。

利用上面等式,可以指出aaH的对易关系:

 .

因此要是( )并非零右括矢量,

 .

类似地,也可以指出

 .

换句话说,a作用在能量为E的本征态,而产生出——还多了一个常数乘积——另一个能量为  的本征态,而a作用在能量为E的本征态,产生出另一个能量为 的本征态。因为这样,a称作降算符a称作升算符。两者合称阶梯算符。在量子场论中,aa也分别称作消灭算符创生算符,以其分别摧毁与创造粒子——对应于能量量子。

给定任何能量本征态,可以拿降算符a作用在其上,产生了另一个能量少了 的本征态。重复使用降算符,似乎可以产生能量本征态其能量低到E = −∞。不过这样就就与早先的要求 相违背。因此,必须有一最底的能量本征态——基态,标示作 (勿与零右括矢量混淆),使得

 (即a 作用后产生零右括矢量(zero ket))。

在这情况下,继续使用降算符只会产生零右括矢量,而不是产生额外的能量本征态。此外,还指出了

 

最后,透过将升算符作用在 上,并且乘上适当的归一化因子,可以产生出一个能量本征态的无限集合 使得

 ,这与前段所给的谱相符合。

这方法也能够用来很快地找到量子谐振子的基态波函数。只要将消灭算符作用于基态, 变为

 

所以,

 

这个方程的解为,经过归一化,

 

自然长度与能量尺度

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量子谐振子拥有自然长度与自然能量两个自然尺度,可以用来简化问题。这可以透过无量纲化来得到。结果是如果以 为单位来测量能量,以及 为单位来测量距离,则薛定谔方程变成:

 

且能量本征态与本征值变成

 
 .

为了避免混淆,在此文中不采用这些自然单位。不过,这用法在执行运算上总会因便利性而迟早被使用。

案例:双原子分子

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在双原子分子中,自然频率可以发现为[1]页面存档备份,存于互联网档案馆):

 

其中

 为角频率,
k共价键劲度系数
 约化质量

N维谐振子

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一维谐振子很容易地推广到 维。在一维中,粒子的位置是由单一坐标x来指定的。在 维中,这由 个位置坐标所取代,以 标示。对应每个位置坐标有个动量,标示为p1, ..., pN。这些算符之间的正则对易关系

 .

系统的哈密顿算符

 

从这个哈密顿量的形式,可以发觉, 维谐振子明确地可比拟为 个质量相同,弹性常数相同,独立的一维谐振子。在这案例里,变数  个粒子的位置坐标。这是反平方连心位势的一个优良的特性,允许位势被分离为 个项目,每一个项目只跟一个位置坐标有关。

这观察使得问题的解答变的相当简单。对于一个集合的量子数 ,一个 维谐振子的能量本征函数 等于 个一维本征函数 的乘积:

 

采用阶梯算符方法,定义 阶梯算符

 
 

类似前面所述的一维谐振子案例,可以证明每一个  算符将能量分别降低或升高 。哈密顿量是

 

这量子系统的能级 

 

其中,正整数  的量子数。

如同一维案例,能量是量子化的。 基态能级是一维基态能级的 倍。只有一点不同,在一维案例里,每一个能级对应于一个单独的量子态。在 维案例里,除了底态能级以外,每一个能级都是简并的,都对应于多个量子态。

简并度可以很容易地计算出来。例如,思考三维案例,设定 。每一个 相同的量子态,都会拥有相同的能量。给予 ,首先选择一个 。那么, ,有 个值,从  ,可以选择为 的值。 的值自动的设定为 。因此,简并度是

 

对于 维案例,

 

案例:三维均向谐振子

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参阅三维均向谐振子

球对称的三维均向谐振子可以用分离变数法来求解。这方法类似于氢原子问题里的方法,只有球对称位势不一样:

 

其中, 是这问题的质量。由于 会被用来标记磁量子数,所以,用 来标记质量。

这问题的薛定谔方程

 

薛定谔方程的全部解答写为

 

其中,

 是归一常数,
 
  广义拉盖尔多项式 (generalized Laguerre polynomials), 是个正整数,
 球谐函数
 约化普朗克常数

能量本征值是

 

能量通常可以用一个量子数 来描述:

 

由于 是个正整数,假若 是偶数,那么,角量子数也是偶数:

 

假若 是奇数,那么,角量子数也是奇数:

 

磁量子数 满足不等式

 

对于每一个  ,存在 个不同的量子态。每一个量子态都有不同的磁量子数 。因此, 的兼并度是

 

其中,总和的指数 的初始值是 

这结果与先前的方程相同。

耦合谐振子

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两个质点的耦合谐振子

设想 个相同质量的质点,以弹簧连结为一条一维的线形链条。标记每一个质点的离开其平衡点的位置为 (也就是说,假若一个质点 位于其平衡点,则 )。整个系统的哈密顿量是

 

其中, 

这个问题可以用坐标变换来变换成一组独立的谐振子,每一个独立的谐振子对应于一个独特的晶格集体波震动。这些波震动表现出类似粒子般的性质,称为声子。许多固体的离子晶格都会产生声子。在固体物理学里,这方面的理论对于许多现象的研究与了解是非常重要的。

参阅

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参考文献

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  • Griffiths, David J. Introduction to Quantum Mechanics (2nd ed.). Prentice Hall. 2004. ISBN 0-13-111892-7. 
  • Liboff, Richard L. Introductory Quantum Mechanics. Addison-Wesley. 2002. ISBN 978-0-8053-8714-8. 

外部链接

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