在量子力学里,量子谐振子(英语:quantum harmonic oscillator)是古典谐振子的延伸。其为量子力学中数个重要的模型系统中的一者,因为一任意势在稳定平衡点附近可以用谐振子势来近似。此外,其也是少数几个存在简单解析解的量子系统。量子谐振子可用来近似描述分子振动。
能量最低的八个束缚本征态的波函数表征(n = 0到7)。横轴表示位置x。此图未经归一化。
在一维谐振子问题中,一个质量为m的粒子,受到一位势 。此粒子的哈密顿算符为
-
其中x为位置算符,而p为动量算符 。第一项代表粒子动能,而第二项代表粒子处在其中的位能。为了要找到能阶以相对应的能量本征态,必须解所谓的“定态薛丁格方程式”:
- .
在座标基底下可以解这个微分方程式,用到幂级数方法。可以见到有一族的解:
-
-
前8个解(n = 0到7)如右图。函数 为埃尔米特多项式:
-
注意到不应将之与哈密顿算符搞混,尽管哈密顿算符也标作H。相应的能阶为
- 。
束缚本征态之机率密度|ψn(x)|²,从最底部的基态(n = 0)开始,往上能量逐渐增加。横轴表示位置x,而较亮的色彩代表较高的机率密度。
值得注意的是能谱,理由有三。首先,能量被“量子化”(quantized),而只能有离散的值——即 乘以1/2, 3/2, 5/2……等等。这是许多量子力学系统的特征。在尔后的“阶梯算符”段落,将对此现象做更详细的检视。再者,可有的最低能量(当n = 0)不为零,而是 ,被称为“基态能量”或零点能量。在基态中,根据量子力学,一振子执行所谓的“零振动”(null oscillations)且其平均动能是正值。这样的现象意义重大但并不那么显而易见,因为通常能量的零点并非一个有意义的物理量,因为可以任意选择;有意义的是能量差。虽然如此,基态能量有许多的意涵,特别是在量子重力。最后一个理由为能阶值是等距的,不像波耳模型或盒中粒子问题那样。
注意到基态的机率密度集中在原点。这表示粒子多数时间处在势阱的底部,合乎对于一几乎不带能量之状态的预期。当能量增加时,机率密度变成集中在“古典转向点”(classical turning points),其中状态能量等同于势能。这样的结果与古典谐振子相一致;古典的描述下,粒子多数时间处在(而更有机会被发现在)转向点,因为在此处粒子速度最慢。因此满足对应原理。
前述的幂级数解虽然直观,但显得相当繁复。阶梯算符方法起自保罗·狄拉克,允许抽像求得能量本征值,而不用直接解微分方程式。此外,此法很容易推广到更复杂的问题,尤其是在量子场论中。跟从此方法,定义算符a与其伴随算符(adjoint)a†:
-
算符a并非厄米算符(Hermitian),因其与伴随算符a†并不相同。
算符a与a†有如下性质:
-
在推导a†形式的过程中,已用到算符x与p(代表可观测量)为厄米算符这样的事实。这些可观测量算符可以被表示为阶梯算符的线性组合:
-
x与p算符遵守下面的等式,称之为正则对易关系:
- .
方程式中的方括号是常用的标记机器,称为交换子、交换算符或对易算符,其定义为
- .
利用上面关系,可以证明如下等式:
-
- .
现在,让 代表带有能量E的能量本征态。任何右括向量(ket)与自身的内积必须是非负值,因此
- 。
将a†a以哈密顿算符表示:
- ,
因此 。注意到当( )为零右括向量(亦即:长度为零的右括向量),则不等式饱和而 。很直观地,可以检查到存在有一状态满足此条件——前面段落所提到的基态(n = 0)。
利用上面等式,可以指出a及a†与H的对易关系:
- .
因此要是( )并非零右括向量,
- .
类似地,也可以指出
- .
换句话说,a作用在能量为E的本征态,而产生出——还多了一个常数乘积——另一个能量为
的本征态,而a†作用在能量为E的本征态,产生出另一个能量为 的本征态。因为这样,a称作降算符而a†称作升算符。两者合称阶梯算符。在量子场论中,a与a†也分别称作消灭算符与创生算符,以其分别摧毁与创造粒子——对应于能量量子。
给定任何能量本征态,可以拿降算符a作用在其上,产生了另一个能量少了 的本征态。重复使用降算符,似乎可以产生能量本征态其能量低到E = −∞。不过这样就就与早先的要求 相违背。因此,必须有一最底的能量本征态——基态,标示作 (勿与零右括向量混淆),使得
- (即a对 作用后产生零右括向量(zero ket))。
在这情况下,继续使用降算符只会产生零右括向量,而不是产生额外的能量本征态。此外,还指出了
- 。
最后,透过将升算符作用在 上,并且乘上适当的归一化因子,可以产生出一个能量本征态的无限集合 使得
- ,这与前段所给的能谱相符合。
这方法也能够用来很快地找到量子谐振子的基态波函数。只要将消灭算符作用于基态, 变为
- 。
所以,
- 。
这个方程式的解为,经过归一化,
- 。
量子谐振子拥有自然长度与自然能量两个自然尺度,可以用来简化问题。这可以透过无因次化来得到。结果是如果以 为单位来测量能量,以及 为单位来测量距离,则薛丁格方程式变成:
- ,
且能量本征态与本征值变成
-
- .
为了避免混淆,在此文中不采用这些自然单位。不过,这用法在执行运算上总会因便利性而迟早被使用。
在双原子分子中,自然频率可以发现为[1] (页面存档备份,存于互联网档案馆):
-
其中
- 为角频率,
- k是共价键劲度系数
- 是约化质量。
一维谐振子很容易地推广到 维。在一维中,粒子的位置是由单一座标x来指定的。在 维中,这由 个位置座标所取代,以 标示。对应每个位置座标有个动量,标示为p1, ..., pN。这些算符之间的正则对易关系为
- .
系统的哈密顿算符为
- 。
从这个哈密顿量的形式,可以发觉, 维谐振子明确地可比拟为 个质量相同,弹性常数相同,独立的一维谐振子。在这案例里,变数 是 个粒子的位置坐标。这是反平方连心位势的一个优良的特性,允许位势被分离为 个项目,每一个项目只跟一个位置坐标有关。
这观察使得问题的解答变的相当简单。对于一个集合的量子数 ,一个 维谐振子的能量本征函数 等于 个一维本征函数 的乘积:
- 。
采用阶梯算符方法,定义 组阶梯算符,
- ,
- 。
类似前面所述的一维谐振子案例,可以证明每一个 与 算符将能量分别降低或升高 。哈密顿量是
- 。
这量子系统的能阶 是
- ;
其中,正整数 是 的量子数。
如同一维案例,能量是量子化的。 维基态能阶是一维基态能阶的 倍。只有一点不同,在一维案例里,每一个能阶对应于一个单独的量子态。在 维案例里,除了底态能阶以外,每一个能阶都是简并的,都对应于多个量子态。
简并度可以很容易地计算出来。例如,思考三维案例,设定 。每一个 相同的量子态,都会拥有相同的能量。给予 ,首先选择一个 。那么, ,有 个值,从 到 ,可以选择为 的值。 的值自动的设定为 。因此,简并度是
- 。
对于 维案例,
- 。
- 参阅三维均向谐振子
球对称的三维均向谐振子可以用分离变数法来求解。这方法类似于氢原子问题里的方法,只有球对称位势不一样:
- ;
其中, 是这问题的质量。由于 会被用来标记磁量子数,所以,用 来标记质量。
这问题的薛丁格方程式为
- 。
薛丁格方程式的全部解答写为
- ;
其中,
- 是归一常数,
-
- 是 阶广义拉盖尔多项式 (generalized Laguerre polynomials), 是个正整数,
- 是球谐函数,
- 是约化普朗克常数。
能量本征值是
- 。
能量通常可以用一个量子数 来描述:
- 。
由于 是个正整数,假若 是偶数,那么,角量子数也是偶数:
- ;
假若 是奇数,那么,角量子数也是奇数:
- 。
磁量子数 满足不等式
- 。
对于每一个 与 ,存在 个不同的量子态。每一个量子态都有不同的磁量子数 。因此, 的兼并度是
- ;
其中,总和的指数 的初始值是 。
这结果与先前的方程式相同。
- Griffiths, David J. Introduction to Quantum Mechanics (2nd ed.). Prentice Hall. 2004. ISBN 0-13-111892-7.
- Liboff, Richard L. Introductory Quantum Mechanics. Addison-Wesley. 2002. ISBN 978-0-8053-8714-8.