高斯常數

高斯常數符號為G，是1和根號2之算术-几何平均数的倒數：

G={\frac {1}{\mathrm {agm} (1,{\sqrt {2}})}}=0.8346268\dots .

G={\frac {2}{\pi }}\int _{0}^{1}{\frac {dx}{\sqrt {1-x^{4}}}}

因此

G={\frac {1}{2\pi }}B({\tfrac {1}{4}},{\tfrac {1}{2}})

其中B為貝塔函數。

和其他常數的關係

高斯常數常用來表示 $\color {blue}\Gamma ({\frac {1}{4}})$ 的數值。

\Gamma ({\tfrac {1}{4}})={\sqrt {2G{\sqrt {2\pi ^{3}}}}}

換句話說

G={\frac {[\Gamma ({\tfrac {1}{4}})]^{2}}{2{\sqrt {2\pi ^{3}}}}}

因為 $\pi$ 和 $\Gamma ({\frac {1}{4}})$ 互相代數獨立，且 $\Gamma ({\frac {1}{4}})$ 為無理數，因此高斯常數為超越數。

高斯常數常用來定義lemniscate常數，第一lemniscate常數為：

L_{1}\;=\;\pi G

第二lemniscate常數為：

L_{2}\,\,=\,\,{\frac {1}{2G}}

在計算伯努利雙紐線的弧长時會出現這些常數。

以下是一個用Θ函數定義高斯常數的公式

G=\vartheta _{01}^{2}(e^{-\pi })

也可以用以下快速收斂的級數表示

G={\sqrt[{4}]{32}}e^{-{\frac {\pi }{3}}}\left(\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}e^{-2n\pi (3n+1)}\right)^{2}.

高斯常數也可以用無窮乘積表示：

G=\prod _{m=1}^{\infty }\tanh ^{2}\left({\frac {\pi m}{2}}\right).

在以下的定積分中也有高斯常數

{\frac {1}{G}}=\int _{0}^{\pi /2}{\sqrt {\sin(x)}}dx=\int _{0}^{\pi /2}{\sqrt {\cos(x)}}dx

G=\int _{0}^{\infty }{\frac {dx}{\sqrt {\cosh(\pi x)}}}

高斯常數的连分数為[0, 1, 5, 21, 3, 4, 14, ...]. （OEIS數列A053002）