高斯常數符號為G,是1和根號2之算術-幾何平均數的倒數:
高斯常數識別 |
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種類 | 無理數 超越數 |
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發現 | 卡爾·弗里德里希·高斯 |
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符號 | ![{\displaystyle G}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5f3c8921a3b352de45446a6789b104458c9f90b) |
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位數數列編號 | A014549 |
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性質 |
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定義 | ![{\displaystyle G={\frac {1}{\mathrm {agm} (1,{\sqrt {2}})}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/275e66dd6d8763e0d84ba3818b737cdcca89239a) |
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連分數 | [0; 1, 5, 21, 3, 4, 14, 1, 1, 1, 1, 1, 3, 1, 15, 1, 3, 8, 36...](OEIS數列A053002) |
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表示方式 |
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值 | 0.8346268 |
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二進位 | 0.110101011010101000011010… |
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八進位 | 0.653250326325523207665422… |
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十進位 | 0.834626841674073186281429… |
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十六進位 | 0.D5AA1ACD5A9A1F6B126ED416… |
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![{\displaystyle G={\frac {1}{\mathrm {agm} (1,{\sqrt {2}})}}=0.8346268\dots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2e585f2cba99b5888363b68ad267a532f1a1553d)
此數學常數得名自卡爾·弗里德里希·高斯,他在1799年5月30日發現
![{\displaystyle G={\frac {2}{\pi }}\int _{0}^{1}{\frac {dx}{\sqrt {1-x^{4}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ce994f6c6a794b21fa039db0523babea96a7997)
因此
![{\displaystyle G={\frac {1}{2\pi }}B({\tfrac {1}{4}},{\tfrac {1}{2}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ae1d745aed081b8c433c9de9a6c7cfd23670bc1)
其中B為貝塔函數。
高斯常數常用來表示 的數值。
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換句話說
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因為 和 互相代數獨立,且 為無理數,因此高斯常數為超越數。
高斯常數常用來定義lemniscate常數,第一lemniscate常數為:
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第二lemniscate常數為:
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在計算伯努利雙紐線的弧長時會出現這些常數。
以下是一個用Θ函數定義高斯常數的公式
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也可以用以下快速收斂的級數表示
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高斯常數也可以用無窮乘積表示:
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在以下的定積分中也有高斯常數
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高斯常數的連分數為[0, 1, 5, 21, 3, 4, 14, ...]. (OEIS數列A053002)