K-理论

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数学中,K-理论K-theory)是多个领域使用的一个工具。在代数拓扑中,它是一种异常上同调,称为拓扑K-理论;在代数代数几何中,称之为代数K-理论;在算子代数中也有诸多应用。它导致了一类K-函子构造,K-函子包含了有用、却难以计算的信息。

物理学中,K-理论特别是扭曲K-理论英语twisted K-theory出现在第二型弦理论,其中猜测它们可分类D-膜拉蒙-拉蒙场英语Ramond-Ramond field以及广义复流形上某些旋量。具体细节参见K-理论 (物理)

早期历史

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这个课题最早由亚历山大·格罗滕迪克1957年发现,名字取自德文Klasse”,意为“分类”class,进而表述为格罗滕迪克-黎曼-罗赫定理[1]。格罗腾迪格需要在代数簇X上工作。不是直接在处理层,他给出了两个构造。首先,他利用直和运算将层的交换幺半群转换成一个群 通过取层的分类的形式和以及形式加法逆(这是得到给定函子左伴随的明确方法)。在第二个构造中,他强加以与层扩张一致的额外关系,得到一个现在记作 的群。这两个构造都被称为格罗滕迪克群英语Grothendieck group 具有上同调表现而 有同调表现。

如果 是一个光滑簇,两个群是相同的。

在拓扑学中,我们对向量丛有类似的和构造。迈克尔·阿蒂亚弗里德里希·希策布鲁赫在1959年使用格罗腾迪格群构造来定义拓扑空间  (两个构造一致)。这是在代数拓扑中发现的第一个奇异上同调理论的基础。它在指标定理的第二证明中起了巨大的作用。此外,这种途径导向了C*-代数非交换 -理论。

在1955年,让-皮埃尔·塞尔已经用具有投射模向量丛的类似物来表述塞尔猜想英语Quillen–Suslin theorem,该猜想声称一个域上多项式环上的投射模是自由模;这个论断是正确的,但直到20年后才解决(斯旺定理英语Serre–Swan theorem是这个类比的另一方面)。1959年,塞尔给出了环的格罗腾迪克群构造,用它来证明投射模是稳定自由的。这个应用是代数K理论之开端。

发展

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随后一个时期,出现了各种类型的“高阶K-理论函子”定义。最后,两种有用的等价定义由丹尼尔·奎伦在1969年与1972年用同伦理论给出。另一种变体也由Template:弗里德海姆·瓦尔德豪森为了研究“空间的代数K-理论”提出,这与伪同痕的研究有关。大多数现代高阶K-理论研究与代数几何和Template:主上同调有关。

带有一个辅助的二次型的相应构造具有一般名字L-理论。它是割补理论的主要工具。

弦理论中,拉蒙-拉蒙场强与稳定D-膜电荷的K-理论分类在1997年首次提出[2]

另见

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参考文献

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注释

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