−1

最大的負奇數

数学中,负一写作 −1,是 1加法逆元,即当 −1 加上 1 之后就变为 0−1 是介于 −20 之间的整数,亦是最大的负整数

-1
← −2 −1 0 →
数表整数

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命名
小写负一
大写负壹
序数词第负一
negative first
识别
种类整数
性质
素因数分解单位元
约数1
绝对值1
相反数1
表示方式
-1
算筹
二进制−1(2)
八进制−1(8)
十二进制−1(12)
十六进制−1(16)
语言
阿拉伯文١
孟加拉语
高斯整数导航
2i
−1+i i 1+i
−2 −1 0 1 2
−1−i i 1−i
−2i

负一与欧拉恒等式相关系,此恒等式表示为

软件开发中,用来表示变量包含无用的信息,亦能作为函数错误时的传回值。

编程语言中,取决于第一个元素是用 0 还是 1 表示,−1 可以用来索引数组的最后一个元素,或者倒数第二个元素。

−11 有许多相似但略有不同的特性。

代数性质

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将一数字乘上-1的动作,等价于将此数值变号。借由分配律,以及1是乘法运算的单位元之公理,对于实数x,我们得到

 

这里我们使用了“任意实数x乘上0等于0”,将x从等式中约掉。

 
 
复平面直角坐标系上的0, 1, −1, i, 和 −i

也就是,

 

故(−1) · xx的相反数。

负一平方

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−1的平方亦即−1乘于−1,等于1。意即,两负实数相乘为一正实数。

代数证明此结果

 

第一个等式取自上一段落的结果。第二个等式是根据“−1是1的加法逆元”。 再使用分配律,我们得到

 

第三个等式依据是:1是乘法运算的单位元。然后在等式前后加上1

 

以上运算适用于任意

负一的平方根

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复数 满足 ,也可视为-1的平方根。另一个能满足x2 = −1的复数x是−i[1]四元数的代数包含复平面,等式x2 = −1拥有无限多组解。

负一的乘幂

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我们定义 ,即代数x的−1次方,或代数x的倒数。可将此定义结合指数定律  。 负数整数形式的指数可以拓展到环的逆元素,定义 作为 的乘法逆元。

函数或矩阵右上的-1不是指数,而是反函数反矩阵。例如:  的反函数, 反正弦函数。

负一的对数

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包括-1在内的所有负数在实数域中是没有对数的,但在复数域,根据欧拉恒等式 ,可以得出-1的自然对数 

维数

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空集的归纳维数被定义为-1。在抽象几何学英语Abstract_polytope中,空多胞形的维数亦被定义为-1[2]

计算机的表示法

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大多数计算机系统使用补码来表示负整数。此系统中,所有比特皆为一以表示-1,若以8-bit有符号整数表示,即为二进制的"11111111",或十六进位制的"FF"。若将-1解读为n位无符号整数,n个1将表示为2n − 1,且较有符号整数系统能容纳更大数值。例如,8-bit的"11111111"表示为 

Setun计算机中  以倒转的阿拉伯数字一“1”表示[3]

参见条目

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参考文献

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  1. ^ Ask Dr. Math. Math Forum. [2012-10-14]. (原始内容存档于2019-08-15). 
  2. ^ Guy Inchbald. Vertex figures: The complete vertex and general vertex figures. steelpillow. 2005-01-06 [2016-08-02]. (原始内容存档于2016-08-19). 
  3. ^ N.A.Krinitsky; G.A.Mironov; G.D.Frolov. Chapter 10. Program-controlled machine Setun. M.R.Shura-Bura (编). Programming. Moscow. 1963 (俄语).