三侧锥六角柱

三侧锥六角柱
类别	约翰逊多面体; J56 - J57 - J58
对偶多面体	交错截四阶角双六角锥
识别
鲍尔斯缩写; （verse-and-dimensions的wikia：Bowers acronym）	tauhip
性质
面	17
边	30
顶点	15
欧拉特征数	F=17, E=30, V=15 （χ=2）
组成与布局
面的种类	12正三角形; 3 正方形; 2 六边形
顶点的种类	3(34); 12(32.4.6)
对称性
对称群	D3h
特性
	凸
图像
	; （展开图）
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	查; 论; 编;

在几何学中，三侧锥六角柱是一种十七面体，可以视为在六角柱的3个侧面上叠上四角锥所构成的立体。三侧锥六角柱在维持所有面都是正多边形面的条件下，是在约翰逊多面体中，所有凸侧锥柱体中，底面边数最多、侧锥数最多的立体，其最大的内角约为174.7度，非常接近平角，但非平角，因此三侧锥六角柱是一种约翰逊多面体，约翰逊多面体是凸多面体，面皆由正多边形组成但不属于均匀多面体，共有92种。这些立体最早在1966年由诺曼·约翰逊（英语：Norman Johnson (mathematician)）（Norman Johnson）命名并给予描述^[1]。诺曼·约翰逊（英语：Norman Johnson (mathematician)）在发现这些立体时，给予三侧锥六角柱编号J₅₇^[1]。

性质

三侧锥六角柱共由17个面、30条边和15个顶点组成^[3]，在其17个面中，有12个正三角形面、3个正方形面和2个正六边形面^[3]。其对称群为三倍的柱体形式的二面体群对称性D_3h群^[4]。

体积与表面积

棱长为a的三侧锥六角柱的表面积（A）和体积（V）为：^[3]

$A=(3+6{\sqrt {3}})a^{2}$

$V={\frac {{\sqrt {2}}+3{\sqrt {3}}}{2}}a^{3}$

顶点座标

对于一个边长为2且几何中心位于原点的三侧锥六角柱，其顶点座标为：^[5]

\left(\pm 1,\,\pm {\sqrt {3}},\,\pm 1\right),

\left(\pm 2,\,0,\,\pm 1\right),

\left(\pm {\frac {3+{\sqrt {6}}}{2}},\,{\frac {3+{\sqrt {6}}}{2{\sqrt {3}}}},\,0\right),

\left(0,\,-{\frac {3+{\sqrt {6}}}{\sqrt {3}}},\,0\right).

二面角

三侧锥六角柱有四种二面角，分别为三角形与正方形的二面角，位于侧锥侧面与六角柱侧面的交角、还有三角形与六边形的二面角，位于侧锥侧面与六角柱底面的交角、还有三角形与三角形的二面角，位于侧锥侧面与侧锥侧面的交角、以及正方形和六边形的二面角，位于六角柱侧面与六角柱底面的交角。其中以三角形与正方形的二面角为最大，约174.7度，非常接近平角。^[6]与其他几种侧锥六角柱不同，三侧锥六角柱没有六角柱侧面与六角柱侧面的交角，因为三侧锥六角柱的侧锥的位置皆相隔了一个侧面，因此六角柱侧面的相邻面只剩下六角柱的底面和侧锥的侧面。

其中，正方形和六边形的二面角（六角柱侧面与六角柱底面的交角）为直角。^[6]

\angle

正方形

,

六边形

\,=90^{\circ }

三角形与正方形的二面角（侧锥侧面与六角柱侧面的交角）约为174.7356度：^[6]

\angle

三角形

,

正方形

\,=\arccos \left(-{\frac {1+{\sqrt {6}}}{\sqrt {12}}}\right)\approx 3.04971172\approx 174.73561029^{\circ }

三角形与六边形的二面角（侧锥侧面与六角柱底面的交角）约为144.7356度：^[6]

\angle

三角形

,

六边形

\,=\arccos \left(-{\sqrt {\frac {2}{3}}}\right)\approx 2.52611294\approx 144.73561004^{\circ }

三角形与三角形的二面角（侧锥侧面与侧锥侧面的交角）约为109.47度：^[6]

\angle

三角形

,

三角形

\,=\arccos \left(-{\frac {1}{3}}\right)\approx 1.91063324\approx 109.47122085^{\circ }

变体

三侧锥六角柱共有三种型态，一种是三个侧锥都不彼此相邻；另一种是三个侧锥彼此相邻；还有一种是两个侧锥彼此相邻，另一个侧锥与前者不彼此相邻。仅有第一种属于约翰逊多面体。第三种有两种手性镜像。目前学术界仅称第一种为三侧锥六角柱，后两种名称尚未有共识，即未有被广泛接受的名称。一般都通称为三侧锥六角柱。然而术语“三侧锥六角柱”通常只第一种三个侧锥都不彼此相邻的立体，即属于约翰逊多面体的那一种。