三側錐六角柱

三側錐六角柱
類別	约翰逊多面体; J56 - J57 - J58
對偶多面體	交錯截四階角雙六角錐
識別
鮑爾斯縮寫; （verse-and-dimensions的wikia：Bowers acronym）	tauhip
性質
面	17
邊	30
頂點	15
歐拉特徵數	F=17, E=30, V=15 （χ=2）
組成與佈局
面的種類	12正三角形; 3 正方形; 2 六边形
頂點的種類	3(34); 12(32.4.6)
對稱性
對稱群	D3h
特性
	凸
圖像
	; （展開圖）
	; （展開圖）
	查; 论; 编;

在几何学中，三側錐六角柱是一種十七面體，可以視為在六角柱的3個側面上疊上四角錐所構成的立體。三側錐六角柱在維持所有面都是正多邊形面的條件下，是在詹森多面體中，所有凸側錐柱體中，底面邊數最多、側錐數最多的立體，其最大的內角約為174.7度，非常接近平角，但非平角，因此三側錐六角柱是一種詹森多面體，詹森多面體是凸多面體，面皆由正多邊形組成但不屬於均勻多面體，共有92種。這些立體最早在1966年由諾曼·詹森（英语：Norman Johnson (mathematician)）（Norman Johnson）命名並給予描述^[1]。諾曼·詹森（英语：Norman Johnson (mathematician)）在發現這些立體時，給予三側錐六角柱編號J₅₇^[1]。

性質

三側錐六角柱共由17個面、30條邊和15個頂點組成^[3]，在其17個面中，有12個正三角形面、3個正方形面和2個正六邊形面^[3]。其對稱群為三倍的柱體形式的二面體群對稱性D_3h群^[4]。

体积与表面积

棱长为a的三側錐六角柱的表面积（A）和体积（V）為：^[3]

$A=(3+6{\sqrt {3}})a^{2}$

$V={\frac {{\sqrt {2}}+3{\sqrt {3}}}{2}}a^{3}$

頂點座標

對於一個邊長為2且幾何中心位於原點的三側錐六角柱，其頂點座標為：^[5]

\left(\pm 1,\,\pm {\sqrt {3}},\,\pm 1\right),

\left(\pm 2,\,0,\,\pm 1\right),

\left(\pm {\frac {3+{\sqrt {6}}}{2}},\,{\frac {3+{\sqrt {6}}}{2{\sqrt {3}}}},\,0\right),

\left(0,\,-{\frac {3+{\sqrt {6}}}{\sqrt {3}}},\,0\right).

二面角

三側錐六角柱有四種二面角，分別為三角形與正方形的二面角，位於側錐側面與六角柱側面的交角、還有三角形與六邊形的二面角，位於側錐側面與六角柱底面的交角、還有三角形與三角形的二面角，位於側錐側面與側錐側面的交角、以及正方形和六邊形的二面角，位於六角柱側面與六角柱底面的交角。其中以三角形與正方形的二面角為最大，約174.7度，非常接近平角。^[6]與其他幾種側錐六角柱不同，三側錐六角柱沒有六角柱側面與六角柱側面的交角，因為三側錐六角柱的側錐的位置皆相隔了一個側面，因此六角柱側面的相鄰面只剩下六角柱的底面和側錐的側面。

其中，正方形和六邊形的二面角（六角柱側面與六角柱底面的交角）為直角。^[6]

\angle

正方形

,

六邊形

\,=90^{\circ }

三角形與正方形的二面角（側錐側面與六角柱側面的交角）約為174.7356度：^[6]

\angle

三角形

,

正方形

\,=\arccos \left(-{\frac {1+{\sqrt {6}}}{\sqrt {12}}}\right)\approx 3.04971172\approx 174.73561029^{\circ }

三角形與六邊形的二面角（側錐側面與六角柱底面的交角）約為144.7356度：^[6]

\angle

三角形

,

六邊形

\,=\arccos \left(-{\sqrt {\frac {2}{3}}}\right)\approx 2.52611294\approx 144.73561004^{\circ }

三角形與三角形的二面角（側錐側面與側錐側面的交角）約為109.47度：^[6]

\angle

三角形

,

三角形

\,=\arccos \left(-{\frac {1}{3}}\right)\approx 1.91063324\approx 109.47122085^{\circ }

變體

三側錐六角柱共有三種型態，一種是三個側錐都不彼此相鄰；另一種是三個側錐彼此相鄰；還有一種是兩個側錐彼此相鄰，另一個側錐與前者不彼此相鄰。僅有第一種屬於詹森多面體。第三種有兩種手性鏡像。目前學術界僅稱第一種為三側錐六角柱，後兩種名稱尚未有共識，即未有被廣泛接受的名稱。一般都通稱為三側錐六角柱。然而術語「三側錐六角柱」通常只第一種三個側錐都不彼此相鄰的立體，即屬於詹森多面體的那一種。