数学中,若一个二维平面上的多边形的每条边都能与其内部的一个圆形相切,该圆就是所谓的多边形的内切圆,这时称这个多边形为圆外切多边形。它亦是多边形内部最大的圆形。内切圆的圆心被称为该多边形的内心

三角形的角平分线会相交于内切圆的圆心

一个多边形至多有一个内切圆,也就是说对于一个多边形,它的内切圆,如果存在的话,是唯一的。并非所有的多边形都有内切圆。三角形正多边形一定有内切圆。拥有内切圆的四边形被称为圆外切四边形

三角形的内切圆

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任何三角形 都有内切圆。这个内切圆的圆心称为内心,一般标记为I,是三角形内角平分线的交点[1]。在三线坐标,内心是1:1:1。

性质

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内切圆的半径 ,当中 表示三角形的面积,a、b、c为三角形的三个边长。

以内切圆和三角形的三个切点为顶点的三角形  内接三角形之一。 的内切圆就是 外接圆。而   三线交于一点,它们的交点就是热尔岗点(Gergonne point)。内切圆与九点圆相切,切点称作费尔巴哈点(见九点圆)。

若以三角形的内切圆为反演圆进行反演,则三角形的三条边和外接圆会分别变为半径相等的四个圆(半径都等于内切圆半径的一半)。[2]

三角形的外接圆半径R、内切圆半径r 以及内外心间距OI 之间有如下关系:

 [3]

直角三角形两股和等于斜边长加上该三角形内切圆直径

 

由此性质再加上勾股定理 ,可推得:

 

直角座标系中,若顶点座标分别为   ,则内心的座标为:

 [4]

四边形的内切圆

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不是所有的四边形都有内切圆,拥有内切圆的四边形称为圆外切四边形。凸四边形ABCD有内切圆当且仅当两对对边之和相等: ,此命题称为皮托定理。圆外切四边形的面积和内切圆半径的关系为:  ,其中s 为半周长。

同时拥有内切圆和外接圆的四边形称为双心四边形。这样的四边形有无限多个。若一个四边形为双心四边形,那么其内切圆在两对对边的切点的连线相互垂直。而只要在一个圆上选取两条相互垂直的,并过相应的顶点做切线,就能得到一个双心四边形。

正多边形的内切圆

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正多边形必然有内切圆,而且其内切圆的圆心和外接圆的圆心重合,都在正多边形的中心。边长为a 的正多边形的内切圆半径为:

 

其内切圆的面积为:

 

内切圆面积 与正多边形的面积 之比为:

 

故此,当正多边形的边数 趋向无穷时,

 

参考文献

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  1. ^ R.A.约翰逊,《近代欧氏几何学》,单墫 译,第158页,上海教育出版社,ISBN 7-5320-6392-5
  2. ^ 《近代欧氏几何学》,第163页
  3. ^ 《近代欧氏几何学》,第162页
  4. ^ 平面向量教学与三角形内心. [2013-12-05]. (原始内容存档于2020-08-07). 

参见

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