斯卢茨基定理

概率论斯卢茨基定理实数列极限的若干代数性质推广到随机变量序列。[1]

定理得名自尤金·斯卢茨基[2]斯卢茨基定理有时归功于哈拉尔德·克拉梅尔[注 1]

叙述

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 随机标量向量矩阵序列。若 依分布收敛随机元素 ,且 依概率收敛至常数 ,则

  •  
  •  
  •     若c可逆,

其中 表示依分布收敛

说明

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  1.  趋向于常数的条件不能省略。假如允许趋向于非退化的随机元,则定理不再成立。例如,设  ,则对所有 ,皆有和 。再者, ,但 并不依分布收敛至 ,其中    独立。[3]
  2. 若将定理中,所有“依分布收敛”改成“依概率收敛”,则结论仍然成立。

证明

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引用以下引理:若 依分布收敛至 ,且 依概率收敛至常数 ,则联合向量 依分布收敛到 [4]

现对上述依分布的收敛使用连续映射定理。由   定义的函数 皆为连续函数(为使 连续,要求 可逆),故由连续映射定理,斯卢茨基定理成立。

参见

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  1. ^ Gut, Allan. Probability: a graduate course. Springer-Verlag. 2005. ISBN 0-387-22833-0. ,p.249的评注11.1中,此定理称为克拉梅尔定理。

参考资料

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  1. ^ Goldberger, Arthur S. Econometric Theory. New York: Wiley. 1964: 117–120 (英语). 
  2. ^ Slutsky, E. Über stochastische Asymptoten und Grenzwerte. Metron. 1925, 5 (3): 3–89. JFM 51.0380.03 (德语). 
  3. ^ Zeng, Donglin. Large Sample Theory of Random Variables (lecture slides) (PDF). Advanced Probability and Statistical Inference I (BIOS 760). University of North Carolina at Chapel Hill. Slide 59. Fall 2018 [2021-07-31]. (原始内容存档 (PDF)于2013-02-03) (英语). 
  4. ^ van der Vaart, Aad W. Asymptotic statistics. New York: Cambridge University Press. 1998. ISBN 978-0-521-49603-2 (英语).