史拉斯基定理

機率論史拉斯基定理實數列極限的若干代數性質推廣到隨機變數序列。[1]

定理得名自尤金·史拉斯基[2]史拉斯基定理有時歸功於哈拉爾德·克拉梅爾[註 1]

敘述

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 隨機純量向量矩陣序列。若 依分布收斂隨機元素 ,且 依機率收斂至常數 ,則

  •  
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  •     若c可逆,

其中 表示依分布收斂

說明

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  1.  趨向於常數的條件不能省略。假如允許趨向於非退化的隨機元,則定理不再成立。例如,設  ,則對所有 ,皆有和 。再者, ,但 並不依分布收斂至 ,其中    獨立。[3]
  2. 若將定理中,所有「依分布收斂」改成「依機率收斂」,則結論仍然成立。

證明

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引用以下引理:若 依分布收斂至 ,且 依機率收斂至常數 ,則聯合向量 依分布收斂到 [4]

現對上述依分布的收斂使用連續映射定理。由   定義的函數 皆為連續函數(為使 連續,要求 可逆),故由連續映射定理,史拉斯基定理成立。

參見

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  1. ^ Gut, Allan. Probability: a graduate course. Springer-Verlag. 2005. ISBN 0-387-22833-0. ,p.249的評注11.1中,此定理稱為克拉梅爾定理。

參考資料

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  1. ^ Goldberger, Arthur S. Econometric Theory. New York: Wiley. 1964: 117–120 (英語). 
  2. ^ Slutsky, E. Über stochastische Asymptoten und Grenzwerte. Metron. 1925, 5 (3): 3–89. JFM 51.0380.03 (德語). 
  3. ^ Zeng, Donglin. Large Sample Theory of Random Variables (lecture slides) (PDF). Advanced Probability and Statistical Inference I (BIOS 760). University of North Carolina at Chapel Hill. Slide 59. Fall 2018 [2021-07-31]. (原始內容存檔 (PDF)於2013-02-03) (英語). 
  4. ^ van der Vaart, Aad W. Asymptotic statistics. New York: Cambridge University Press. 1998. ISBN 978-0-521-49603-2 (英語).