史拉斯基定理

在機率論，史拉斯基定理將實數列極限的若干代數性質推廣到隨機變數序列。

定理得名自尤金·史拉斯基。史拉斯基定理有時歸功於哈拉爾德·克拉梅爾。

敘述

設$(X_{n}),(Y_{n})$為隨機純量、向量或矩陣序列。若$(X_{n})$依分布收斂至隨機元素$X$，且$(Y_{n})$依機率收斂至常數$c$，則

• $(X_{n}+Y_{n})\ \xrightarrow {d} \ X+c;$
• $(X_{n}Y_{n})\ \xrightarrow {d} \ Xc;$
• $(X_{n}/Y_{n})\ \xrightarrow {d} \ X/c,$   若c可逆，

其中${\xrightarrow {d}}$表示依分布收斂。

說明

1. $(Y_{n})$趨向於常數的條件不能省略。假如允許趨向於非退化的隨機元，則定理不再成立。例如，設$X_{n}\sim {\rm {Uniform}}(0,1)$，$Y_{n}=-X_{n}$，則對所有$n$，皆有和$X_{n}+Y_{n}=0$。再者，$Y_{n}{\xrightarrow {d}}{\rm {Uniform}}(-1,0)$，但$X_{n}+Y_{n}$並不依分布收斂至$X+Y$，其中$X\sim {\rm {Uniform}}(0,1)$，$Y\sim {\rm {Uniform}}(-1,0)$，$X$和$Y$獨立。
2. 若將定理中，所有「依分布收斂」改成「依機率收斂」，則結論仍然成立。

證明

引用以下引理：若$(X_{n})$依分布收斂至$X$，且$(Y_{n})$依機率收斂至常數$c$，則聯合向量$(X_{n},Y_{n})$依分布收斂到$(X,c)$。

現對上述依分布的收斂使用連續映射定理。由$f(x,y)=x+y$，$g(x,y)=xy$，$h(x,y)=xy^{-1}$定義的函數$f,g,h$皆為連續函數（為使$h$連續，要求$y$可逆），故由連續映射定理，史拉斯基定理成立。

參見

• 隨機變數的收斂