快度

在相对论中，快度通常被用来衡量相对论效应下的速度。在数学上，快度可以被定义成一个双曲角，这个角能够反映两个存在相对运动的参考坐标系之间的差异——它们的时空坐标为洛仑兹变换所联系。

对于一维运动，快度可以简单相加，而速度必须套用爱因斯坦的速度加成式。在低速的情况下，快度和速度是成比例的，但是对于更高速的状况下，快度将增长得更快。特别地，光的速度为光速，而光的快度是无限大。

我们使用反双曲函数artanh来定义快度，当速度为v时，其对应的快度w是w = artanh(v / c)，其中c是光速。速度较慢时，w约为v / c。由于在相对论中，速度v被局限于区间−c < v < c，因此比率v / c将满足−1 < v / c < 1。反双曲正切函数的定义域为(−1, 1)，而值域为整条实数线，所以可以将区间−c < v < c映射到−∞ < w < ∞。

历史

在1908年赫尔曼·闵可夫斯基指出劳伦兹变换可以被简单的变换为坐标时中的双曲旋转，即为一个虚数角度的旋转。 这个角度在一维空间中可以代表着坐标系间速度的度量，且具有可加性。

1910年，弗拉基米尔·瓦里卡克和E. T. 惠特克提出用此参数来取代速度的观念。而这个参数被阿尔弗雷德·罗伯 (1911)命名为快度，并随后被许多笔者所采用，如卢迪威格·席柏斯坦 (1914)，爱德华·莫雷 (1936)和沃尔夫冈·润德勒 (2001)。

双曲线扇形面积

双曲函数xy=1的求积法，是由格雷瓜尔·德·圣-文森特提出的，他指出双曲扇形的面积、或是一块沿着渐进线所定义出的等效面积，可以用自然对数描述。 在时空理论中，类光事件将宇宙分为相对于给定“位置”和“时刻”的“（绝对）过去”、“（绝对）未来”和其他时空点。在空间中的任何一条线上，一道光束的行进方向可以向左或是向右。将向右行进的光束事件定为x轴，向左行进的光束事件定为y轴。则静止坐标系的时间轴即为对角线x = y。而速度可以用第一象限中的直角双曲线xy = 1来表示，其中速度为零的点对应到点$(1,1)$。任何一个双曲线上的点都能以点$(e^{w},\ e^{-w})$ 表示，其中的w即为快度，同时w也是从点$(1,1)$ 到点$(e^{w},\ e^{-w})$与原点所构成的双曲线扇形面积。 也有许多笔者在讨论标准闵可夫斯基图时，会使用单位双曲线$x^{2}-y^{2}$，将快度作为参数曲线的参数。而此时的坐标可以用时钟和米尺来测量，并选用更加常见的基准，这也是时空理论的基础。所以快度作为光束空间的双曲参数，这样的描述是参考了十七世纪时超越函数理论的发展，以及闵可夫斯基图。

在一维空间中

快度w出现在劳伦兹变换的线性表示法中，此时劳伦兹变换被表示为向量－矩阵乘积

${\begin{pmatrix}ct'\\x'\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\cosh w&-\sinh w\\-\sinh w&\cosh w\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}ct\\x\end{pmatrix}}=\mathbf {\Lambda } (w){\begin{pmatrix}ct\\x\end{pmatrix}}$

矩阵Λ(w)为${\begin{pmatrix}p&q\\q&p\end{pmatrix}}$的形式，其中p和q满足关系p² - q² = 1，因此(p, q)将会落在单位双曲线上。这样的矩阵形成了不定正交群 O(1,1)，伴随着由单位反对角矩阵所张出的一维李代数，显示出快度是这个李代数上的坐标，这个作用可在闵可夫斯基图上被描绘出来。 在矩阵指数表示法中，Λ(w)可以被表示为$\mathbf {\Lambda } (w)=e^{\mathbf {Z} w}$，其中Z是矩阵

$\mathbf {Z} ={\begin{pmatrix}0&-1\\-1&0\end{pmatrix}}$

不难证明

$\mathbf {\Lambda } (w_{1}+w_{2})=\mathbf {\Lambda } (w_{1})\mathbf {\Lambda } (w_{2})$

这显现出了快度实用的求和性质：若A，B和 C为参考坐标系，则

$w_{\text{AC}}=w_{\text{AB}}+w_{\text{BC}}$

其中 w_PQ 表示了参考坐标系Q相对于参考坐标系P的快度。与速度加成式相比，这个式子更为简洁。

我们可以从上述的劳伦兹变换看出，劳伦兹因子等同于cosh w

$\gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}\equiv \cosh w$

因此快度w作为一个双曲角，隐含在劳伦兹变换中的γ和β中。我们将快度与速度加成式联系在一起

$u=(u_{1}+u_{2})/(1+u_{1}u_{2}/c^{2})$

借由

$\beta _{i}={\frac {u_{i}}{c}}=\tanh {w_{i}}$

从而得到

${\begin{aligned}\tanh w&={\frac {\tanh w_{1}+\tanh w_{2}}{1+\tanh w_{1}\tanh w_{2}}}\\&=\tanh(w_{1}+w_{2})\end{aligned}}$

β和γ的乘积时常出现，从先前的讨论可知

$\beta \gamma =\sinh w\,$

固有加速度（一个加速物体实质感受到的加速度）是快度对于固有时间（一个加速物体本身所量测到的时间）的变化率。假想在物体的运动过程中，与加速中的物体保持相对静止的一系列“非物理的”参考系，若在这个非物理的惯性系中非相对论性地计算物体的速度，则计算结果将是这个物体的快度。

指数和对数关系

由上述的表达式可以得到

$e^{w}=\gamma (1+\beta )=\gamma \left(1+{\frac {v}{c}}\right)={\sqrt {\frac {1+{\tfrac {v}{c}}}{1-{\tfrac {v}{c}}}}}$

因此

$e^{-w}=\gamma (1-\beta )=\gamma \left(1-{\frac {v}{c}}\right)={\sqrt {\frac {1-{\tfrac {v}{c}}}{1+{\tfrac {v}{c}}}}}$

或是更加清楚地表示为

$w=\ln \left[\gamma (1+\beta )\right]=-\ln \left[\gamma (1-\beta )\right]\,$

相对论性都普勒效应因子与快度w的关系为$k=e^{w}$。

在多维空间中

相对论性速度${\boldsymbol {\beta }}$与快度$\mathbf {w}$为下列关系所联系

${\mathfrak {so}}(3,1)\supset \mathrm {span} \{K_{1},K_{2},K_{3}\}\approx \mathbb {R} ^{3}\ni \mathbf {w} ={\boldsymbol {\hat {\beta }}}\tanh ^{-1}\beta ,\quad {\boldsymbol {\beta }}\in \mathbb {B} ^{3},$

其中的向量$\mathbf {w}$是洛伦兹群对应的李代数${\mathfrak {o}}(3,1)\approx {\mathfrak {so}}(3,1)$中，由三个推进生成元$K_{1},K_{2},K_{3}$张成的三维线性子空间上的坐标。而这可以完全类比至上述一维情况时的${\mathfrak {o}}(1,1)$。因为光速$c$是速度量值的上限（选用单位使得$c=1$），所以速度符合条件$|\beta |<1$，因此速度空间可以用一个半径为$1$的开球$\mathbb {B} ^{3}$表示。

一般性的快度求和公式为

$\mathbf {w} ={\boldsymbol {\hat {\beta }}}\tanh ^{-1}\beta ,\quad {\boldsymbol {\beta }}={\boldsymbol {\beta }}_{1}\oplus {\boldsymbol {\beta }}_{2},$

其中${\boldsymbol {\beta }}_{1}\oplus {\boldsymbol {\beta }}_{2}$对应到速度加成式，${\boldsymbol {\hat {\beta }}}$是${\boldsymbol {\beta }}$方向上的单位向量。这个运算不符合交换律与结合律。斜向角度为$\theta$的快度$\mathbf {w} _{1},\mathbf {w} _{2}$之和的模$w\equiv |\mathbf {w} |$（欧氏空间中的长度）由余弦的双曲关系给出

$\cosh w=\cosh w_{1}\cosh w_{2}+\sinh w_{1}\sinh w_{2}\cos \theta$

快度空间上的几何结构，透过对应的映射继承了速度空间上的双曲几何。相应地，这个几何结构可以从相对论性速度的求和公式来推得。因此，二维空间中的快度空间可以有效地透过庞加莱圆盘模型来想像，其上的测地线会对应到匀加速运动。三维空间中的快度空间，可以透过同样的方法，与双曲面模型建立保距同构。闵可夫斯基时空的几何条目中有更多相关的细节。

两个快度的相加变换并非只是获得一个新的快度值，整体的变换是由上述求和式给出的快度、透过向量${\boldsymbol {\theta }}$来参数化的旋转，两者组合而成。

$\Lambda =e^{-i{\boldsymbol {\theta }}\cdot \mathbf {J} }e^{-i\mathbf {w} \cdot \mathbf {K} }$

这里使用到了物理学家惯用的指数映射。 这是交换法则所致的结果

$[K_{i},K_{j}]=-i\epsilon _{ijk}J_{k}$

其中$J_{k}$是旋转群的生成元，$(k=1,2,3)$，这与汤玛斯进动现象有关。连结中的文章有关于参数${\boldsymbol {\theta }}$的计算方法。

在粒子物理中

一个非零（静止）质量m粒子的能量E以及动量的大小|p| 为：

$E=\gamma mc^{2}$

$|\mathbf {p} |=\gamma mv$

透过快度w的定义

$w=\operatorname {artanh} {\frac {v}{c}}$

并且

$\cosh w=\cosh \left(\operatorname {artanh} {\frac {v}{c}}\right)={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}=\gamma$

$\sinh w=\sinh \left(\operatorname {artanh} {\frac {v}{c}}\right)={\frac {\frac {v}{c}}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}=\beta \gamma$

能量和动量大小可以被表示为

$E=mc^{2}\cosh w$

$|\mathbf {p} |=mc\,\sinh w$

所以快度可以用测量到的能量与动量大小透过下式来计算得出：

$w=\operatorname {artanh} {\frac {|\mathbf {p} |c}{E}}={\frac {1}{2}}\ln {\frac {E+|\mathbf {p} |c}{E-|\mathbf {p} |c}}$

然而实验粒子物理学家常使用修改过的、相对于粒子束的快度定义

$y={\frac {1}{2}}\ln {\frac {E+p_{z}c}{E-p_{z}c}}$

其中p_z是沿着粒子束方向的动量分量。这是从“实验室参考系”到一个“粒子运动方向与粒子束方向垂直的参考系”的劳伦兹变换所对应的快度，相关的概念可以参考条目赝快度。

参见

• Bondi k-calculus
• 劳伦兹变换
• 赝快度
• 固有速度
• 相对论