在流体动力学 中，欧拉方程 是一组支配无黏性 流体运动的方程，以莱昂哈德·欧拉 命名。方程组各方程分别代表质量守恒（连续性）、动量守恒及能量守恒，对应零黏性及无热传导 项的纳维-斯托克斯方程 。历史上，只有连续性及动量方程是由欧拉所推导的。然而，流体动力学的文献常把全组方程——包括能量方程——称为“欧拉方程”[ 1]
跟纳维－斯托克斯方程一样，欧拉方程一般有两种写法：“守恒 形式”及“非守恒形式”。守恒形式强调物理解释，即方程是通过一空间中某固定体积的守恒定律；而非守恒形式则强调该体积跟流体运动时的变化状态。
欧拉方程可被用于可压缩性 流体，同时也可被用于非压缩性 流体——这时应使用适当的状态方程 ，或假设流速 的散度 为零。
本条目假设经典力学 适用；当可压缩流的速度接近光速时，详见相对论性欧拉方程 。
第一份印有欧拉方程的出版物是欧拉的论文《流体运动的一般原理》（Principes généraux du mouvement des fluides），发表于1757年，刊载于《柏林科学院论文集》（Mémoires de l'Academie des Sciences de Berlin）。它们是最早被写下来的一批偏微分方程 。在欧拉发表他的研究之时，方程组只有动量方程及连续性方程 ，因此只能完整描述非压缩性流体；在描述可压缩性流体时，会因条件不足而不能提供唯一解。在1816年，皮埃尔-西蒙·拉普拉斯 添加了一条方程，第三条方程后来被称为绝热条件 。
在十九世纪的后半期，科学家们发现，与能量守恒相关的方程在任何时间都得被遵守，而绝热条件则只会在有平滑解的情况下会被遵守，因为该条件是由平滑解时的基础定律所造成的后果。在发现了狭义相对论 之后，能量密度、质量密度及应力这三个概念，被统一成应力-能量张量 这一个概念；而能量及动量也同样被统一成一个概念——能量-动量张量 [ 2]
以下是用微分形式 写成的欧拉方程：
∂
ρ
∂
t
+
∇
⋅
(
ρ
u
)
=
0
∂
ρ
u
∂
t
+
∇
⋅
(
u
⊗
(
ρ
u
)
)
+
∇
p
=
0
∂
E
∂
t
+
∇
⋅
(
u
(
E
+
p
)
)
=
0
,
{\displaystyle {\begin{aligned}&{\partial \rho \over \partial t}+\nabla \cdot (\rho \mathbf {u} )=0\\[1.2ex]&{\partial \rho {\mathbf {u} } \over \partial t}+\nabla \cdot (\mathbf {u} \otimes (\rho \mathbf {\mathbf {u} } ))+\nabla p=0\\[1.2ex]&{\partial E \over \partial t}+\nabla \cdot (\mathbf {u} (E+p))=0,\end{aligned}}}
其中
ρ 为流体的质量密度 ；u 为流体速度 矢量 ，分量为u 、v 及w ；E = ρ e + ½ ρ ( u2 + v2 + w2 ) 为每一单位容量 所含的总能量 ，其中e 为流体每一单位容量所含的内能 ；p 为压力；
⊗
{\displaystyle \otimes }
张量积 。第二条方程包含了一并矢积 的散度 ，用下标标记（每一个j代表从1至3）表示会较易明白：
∂
(
ρ
u
j
)
∂
t
+
∑
i
=
1
3
∂
(
ρ
u
i
u
j
)
∂
x
i
+
∂
p
∂
x
j
=
0
,
{\displaystyle {\partial (\rho u_{j}) \over \partial t}+\sum _{i=1}^{3}{\partial (\rho u_{i}u_{j}) \over \partial x_{i}}+{\partial p \over \partial x_{j}}=0,}
其中i及j下标各代表直角坐标系 的三个分量：( x1 , x2 , x3 ) = ( x , y , z ) 及( u1 , u2 , u3 ) = ( u , v , w ) 。
注意以上方程是用守恒形式 的，而守恒形式强调的是方程的物理起因（因此在计算流体力学 中的电脑模拟上使用这种形式最方便）。而代表动量守恒的第二条方程可用非守恒形式表示：
ρ
(
∂
∂
t
+
u
⋅
∇
)
u
+
∇
p
=
0
{\displaystyle \rho \left({\frac {\partial }{\partial t}}+{\mathbf {u} }\cdot \nabla \right){\mathbf {u} }+\nabla p=0}
但是在这个形式上，会比较看不出欧拉方程与牛顿第二定律 的直接关联。
以下是用矢量 及守恒形式写成的欧拉方程：
∂
m
∂
t
+
∂
f
x
∂
x
+
∂
f
y
∂
y
+
∂
f
z
∂
z
=
0
,
{\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {m} }{\partial t}}+{\frac {\partial \mathbf {f} _{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial \mathbf {f} _{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial \mathbf {f} _{z}}{\partial z}}=0,}
其中
m
=
(
ρ
ρ
u
ρ
v
ρ
w
E
)
;
{\displaystyle {\mathbf {m} }={\begin{pmatrix}\rho \\\rho u\\\rho v\\\rho w\\E\end{pmatrix}};}
f
x
=
(
ρ
u
p
+
ρ
u
2
ρ
u
v
ρ
u
w
u
(
E
+
p
)
)
;
f
y
=
(
ρ
v
ρ
u
v
p
+
ρ
v
2
ρ
v
w
v
(
E
+
p
)
)
;
f
z
=
(
ρ
w
ρ
u
w
ρ
v
w
p
+
ρ
w
2
w
(
E
+
p
)
)
.
{\displaystyle {\mathbf {f} _{x}}={\begin{pmatrix}\rho u\\p+\rho u^{2}\\\rho uv\\\rho uw\\u(E+p)\end{pmatrix}};\qquad {\mathbf {f} _{y}}={\begin{pmatrix}\rho v\\\rho uv\\p+\rho v^{2}\\\rho vw\\v(E+p)\end{pmatrix}};\qquad {\mathbf {f} _{z}}={\begin{pmatrix}\rho w\\\rho uw\\\rho vw\\p+\rho w^{2}\\w(E+p)\end{pmatrix}}.}
在这个形式下，不难看出f x f y f z
以上方程分别代表质量守恒 、动量的三个分量及能量。里面有五条方程，六个未知数。封闭系统需要一条状态方程 ；最常用的是理想气体定律（即p = ρ (γ−1) e ，其中ρ 为密度，γ 为绝热指数 ，e 为内能）。
注意能量方程的奇特形式；见蓝金-雨果尼厄方程 。附加含p 的项可被诠释成相邻的流体元对某流体元所作的机械功。在非压缩性流体中，这些附加项的总和为零。
取流线 上欧拉方程的积分，假设密度不变，及状态方程具有足够的刚性，可得有名的伯努利定律 。
在构建数值解 ，例如求雷曼问题 的近似 解的时候，展开通量 可以是很重要的一环。使用上面以矢量表示的守恒形式方程，展开其通量可得非守恒形式如下：
∂
m
∂
t
+
A
x
∂
m
∂
x
+
A
y
∂
m
∂
y
+
A
z
∂
m
∂
z
=
0.
{\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {m} }{\partial t}}+\mathbf {A} _{x}{\frac {\partial \mathbf {m} }{\partial x}}+\mathbf {A} _{y}{\frac {\partial \mathbf {m} }{\partial y}}+\mathbf {A} _{z}{\frac {\partial \mathbf {m} }{\partial z}}=0.}
其中A x A y A z 雅可比矩阵 ，各矩阵 为：
A
x
=
∂
f
x
(
s
)
∂
s
,
A
y
=
∂
f
y
(
s
)
∂
s
,
A
z
=
∂
f
z
(
s
)
∂
s
.
{\displaystyle \mathbf {A} _{x}={\frac {\partial \mathbf {f} _{x}(\mathbf {s} )}{\partial \mathbf {s} }},\qquad \mathbf {A} _{y}={\frac {\partial \mathbf {f} _{y}(\mathbf {s} )}{\partial \mathbf {s} }},\qquad \mathbf {A} _{z}={\frac {\partial \mathbf {f} _{z}(\mathbf {s} )}{\partial \mathbf {s} }}.}
上式中这些通量雅可比矩阵A x A y A z m 的函数，因此这种形式的欧拉方程跟原方程一样，都是非线性方程。在状态矢量m 平滑变动的区间内，这种非守恒形式跟原来守恒形式的欧拉方程是相同的。
将理想气体定律 用作状态方程 ，可推导出完整的雅可比矩阵形式，矩阵如下[ 3]
理想气体的通量雅可比矩阵
x 方向的通量雅可比矩阵：
A
x
=
[
0
1
0
0
0
γ
^
H
−
u
2
−
a
2
(
3
−
γ
)
u
−
γ
^
v
−
γ
^
w
γ
^
−
u
v
v
u
0
0
−
u
w
w
0
u
0
u
[
(
γ
−
2
)
H
−
a
2
]
H
−
γ
^
u
2
−
γ
^
u
v
−
γ
^
u
w
γ
u
]
.
{\displaystyle \mathbf {A} _{x}=\left[{\begin{array}{c c c c c}0&1&0&0&0\\{\hat {\gamma }}H-u^{2}-a^{2}&(3-\gamma )u&-{\hat {\gamma }}v&-{\hat {\gamma }}w&{\hat {\gamma }}\\-uv&v&u&0&0\\-uw&w&0&u&0\\u[(\gamma -2)H-a^{2}]&H-{\hat {\gamma }}u^{2}&-{\hat {\gamma }}uv&-{\hat {\gamma }}uw&\gamma u\end{array}}\right].}
y 方向的通量雅可比矩阵：
A
y
=
[
0
0
1
0
0
−
v
u
v
u
0
0
γ
^
H
−
v
2
−
a
2
−
γ
^
u
(
3
−
γ
)
v
−
γ
^
w
γ
^
−
v
w
0
w
v
0
v
[
(
γ
−
2
)
H
−
a
2
]
−
γ
^
u
v
H
−
γ
^
v
2
−
γ
^
v
w
γ
v
]
.
{\displaystyle \mathbf {A} _{y}=\left[{\begin{array}{c c c c c}0&0&1&0&0\\-vu&v&u&0&0\\{\hat {\gamma }}H-v^{2}-a^{2}&-{\hat {\gamma }}u&(3-\gamma )v&-{\hat {\gamma }}w&{\hat {\gamma }}\\-vw&0&w&v&0\\v[(\gamma -2)H-a^{2}]&-{\hat {\gamma }}uv&H-{\hat {\gamma }}v^{2}&-{\hat {\gamma }}vw&\gamma v\end{array}}\right].}
z 方向的通量雅可比矩阵：
A
z
=
[
0
0
0
1
0
−
u
w
w
0
u
0
−
v
w
0
w
v
0
γ
^
H
−
w
2
−
a
2
−
γ
^
u
−
γ
^
v
(
3
−
γ
)
w
γ
^
w
[
(
γ
−
2
)
H
−
a
2
]
−
γ
^
u
w
−
γ
^
v
w
H
−
γ
^
w
2
γ
w
]
.
{\displaystyle \mathbf {A} _{z}=\left[{\begin{array}{c c c c c}0&0&0&1&0\\-uw&w&0&u&0\\-vw&0&w&v&0\\{\hat {\gamma }}H-w^{2}-a^{2}&-{\hat {\gamma }}u&-{\hat {\gamma }}v&(3-\gamma )w&{\hat {\gamma }}\\w[(\gamma -2)H-a^{2}]&-{\hat {\gamma }}uw&-{\hat {\gamma }}vw&H-{\hat {\gamma }}w^{2}&\gamma w\end{array}}\right].}
其中
γ
^
=
γ
−
1
{\displaystyle {\hat {\gamma }}=\gamma -1}
总焓 H 为：
H
=
E
ρ
+
p
ρ
,
{\displaystyle H={\frac {E}{\rho }}+{\frac {p}{\rho }},}
及声速 a 为：
a
=
γ
p
ρ
=
(
γ
−
1
)
[
H
−
1
2
(
u
2
+
v
2
+
w
2
)
]
.
{\displaystyle a={\sqrt {\frac {\gamma p}{\rho }}}={\sqrt {(\gamma -1)\left[H-{\frac {1}{2}}\left(u^{2}+v^{2}+w^{2}\right)\right]}}.}
将含通量雅可比矩阵的非守恒形式，在状态m m 0 的周围线性化后，可得线性化欧拉方程如下：
∂
m
∂
t
+
A
x
,
0
∂
m
∂
x
+
A
y
,
0
∂
m
∂
y
+
A
z
,
0
∂
m
∂
z
=
0
,
{\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {m} }{\partial t}}+\mathbf {A} _{x,0}{\frac {\partial \mathbf {m} }{\partial x}}+\mathbf {A} _{y,0}{\frac {\partial \mathbf {m} }{\partial y}}+\mathbf {A} _{z,0}{\frac {\partial \mathbf {m} }{\partial z}}=0,}
其中A x,0 A y,0 A z,0 A x A y A z m m 0 的值。
如果弃用守恒变量而改用特征变量 的话，欧拉方程可被变换成非耦合波 方程。举例说，考虑以线性通量雅可比矩阵形式表示的一维（1-D）欧拉方程：
∂
m
∂
t
+
A
x
,
0
∂
m
∂
x
=
0.
{\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {m} }{\partial t}}+\mathbf {A} _{x,0}{\frac {\partial \mathbf {m} }{\partial x}}=0.}
矩阵A x,0 对角化 ，即可将其分解成：
A
x
,
0
=
P
Λ
P
−
1
,
{\displaystyle \mathbf {A} _{x,0}=\mathbf {P} \mathbf {\Lambda } \mathbf {P} ^{-1},}
P
=
[
r
1
,
r
2
,
r
3
]
=
[
1
1
1
u
−
a
u
u
+
a
H
−
u
a
1
2
u
2
H
+
u
a
]
,
{\displaystyle \mathbf {P} =\left[\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2},\mathbf {r} _{3}\right]=\left[{\begin{array}{c c c}1&1&1\\u-a&u&u+a\\H-ua&{\frac {1}{2}}u^{2}&H+ua\\\end{array}}\right],}
Λ
=
[
λ
1
0
0
0
λ
2
0
0
0
λ
3
]
=
[
u
−
a
0
0
0
u
0
0
0
u
+
a
]
.
{\displaystyle \mathbf {\Lambda } ={\begin{bmatrix}\lambda _{1}&0&0\\0&\lambda _{2}&0\\0&0&\lambda _{3}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}u-a&0&0\\0&u&0\\0&0&u+a\\\end{bmatrix}}.}
上式中，r 1 r 2 r 3 A x,0 特征矢量 （若
A
x
R
=
λ
R
x
R
,
{\displaystyle Ax_{R}=\lambda _{R}x_{R},\ }
x_R 为右特征矢量），而λ1 、λ2 及λ3 则为对应的特征值 。
设特征变量为：
w
=
P
−
1
m
,
{\displaystyle \mathbf {w} =\mathbf {P} ^{-1}\mathbf {m} ,}
由于A x,0 P −1 后可得：
∂
w
∂
t
+
Λ
∂
w
∂
x
=
0
{\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {w} }{\partial t}}+\mathbf {\Lambda } {\frac {\partial \mathbf {w} }{\partial x}}=0}
经过这样的处理后，方程实际上已经被非耦合 化，而且可被视作三条波方程，其中特征值为波速。变量w i 为雷曼不变量，或在一般的双曲系统中为特征变量。
欧拉方程为非线性 双曲 方程，而它们的通解为波 。与海浪 一样，由欧拉方程所描述的波碎 掉后，所谓的冲击波 就会形成；这是一种非线性效应，所以其解为多值函数 （即函数内的某自变量会产生多个因变量）。物理上这代表构建微分方程时所用的假设已经崩溃，如果要从方程上取得更多信息，就必须回到更基础的积分形式。然后，在构建弱解 时，需要使用蓝金-雨果尼厄冲击波条件 ，在流动的物理量中避开不连续点“跳跃”，上述物理量有密度、速度、压力及熵。物理量很少会出现不连续性；在现实的流动中，黏性会把这些不连续点平滑化。
许多领域都有研究冲击波的传播，尤其是出现流动处于足够高速的领域，例如空气动力学 及火箭推进 。
在某些问题中，特别是分析导管中的可压缩流，或是当流动呈圆柱或球状对称的时候，一维欧拉方程都是很有用的近似法。一般来说，解欧拉方程会用到黎曼 的特征线法 。首先需要找出特征线，这条曲线位于两个独立变量（即x 及t ）所构成的平面上，在这条线上偏微分方程 （PDE）会退化成常微分方程 （ODE）。欧拉方程的数值解法 非常倚赖特征线法。
Batchelor, G. K. An Introduction to Fluid Dynamics. Cambridge University Press. 1967. ISBN 0521663962 Thompson, Philip A. Compressible Fluid Flow. New York: McGraw-Hill. 1972. ISBN 0070644055 Toro, E.F. Riemann Solvers and Numerical Methods for Fluid Dynamics. Springer-Verlag. 1999. ISBN 3-540-65966-8
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{\partial \rho \over \partial t}+\nabla \cdot (\rho \mathbf {u} )=0\\[1.2ex]&{\partial \rho {\mathbf {u} } \over \partial t}+\nabla \cdot (\mathbf {u} \otimes (\rho \mathbf {\mathbf {u} } ))+\nabla p=0\\[1.2ex]&{\partial E \over \partial t}+\nabla \cdot (\mathbf {u} (E+p))=0,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/719655fccdf7f1f48ae8f9f333070347b9f535ff)
![{\displaystyle \mathbf {A} _{x}=\left[{\begin{array}{c c c c c}0&1&0&0&0\\{\hat {\gamma }}H-u^{2}-a^{2}&(3-\gamma )u&-{\hat {\gamma }}v&-{\hat {\gamma }}w&{\hat {\gamma }}\\-uv&v&u&0&0\\-uw&w&0&u&0\\u[(\gamma -2)H-a^{2}]&H-{\hat {\gamma }}u^{2}&-{\hat {\gamma }}uv&-{\hat {\gamma }}uw&\gamma u\end{array}}\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea1cadcc914126f3e4b6a0d43b2b692306a49e0c)
![{\displaystyle \mathbf {A} _{y}=\left[{\begin{array}{c c c c c}0&0&1&0&0\\-vu&v&u&0&0\\{\hat {\gamma }}H-v^{2}-a^{2}&-{\hat {\gamma }}u&(3-\gamma )v&-{\hat {\gamma }}w&{\hat {\gamma }}\\-vw&0&w&v&0\\v[(\gamma -2)H-a^{2}]&-{\hat {\gamma }}uv&H-{\hat {\gamma }}v^{2}&-{\hat {\gamma }}vw&\gamma v\end{array}}\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/59565c52e2e43c8718b80ea189386e06caf659dc)
![{\displaystyle \mathbf {A} _{z}=\left[{\begin{array}{c c c c c}0&0&0&1&0\\-uw&w&0&u&0\\-vw&0&w&v&0\\{\hat {\gamma }}H-w^{2}-a^{2}&-{\hat {\gamma }}u&-{\hat {\gamma }}v&(3-\gamma )w&{\hat {\gamma }}\\w[(\gamma -2)H-a^{2}]&-{\hat {\gamma }}uw&-{\hat {\gamma }}vw&H-{\hat {\gamma }}w^{2}&\gamma w\end{array}}\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c7bada4ec757d1aec3bef39fbceba93e17ffbcb8)
![{\displaystyle a={\sqrt {\frac {\gamma p}{\rho }}}={\sqrt {(\gamma -1)\left[H-{\frac {1}{2}}\left(u^{2}+v^{2}+w^{2}\right)\right]}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d981fcd3ad170a2cb66edcb1c77acbc06db381d)
![{\displaystyle \mathbf {P} =\left[\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2},\mathbf {r} _{3}\right]=\left[{\begin{array}{c c c}1&1&1\\u-a&u&u+a\\H-ua&{\frac {1}{2}}u^{2}&H+ua\\\end{array}}\right],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ef545bc918d0bfe1ee33125484f1ac4c372a6e9)
