在流體動力學 中，歐拉方程式 是一組支配無黏性 流體運動的方程式，以萊昂哈德·歐拉 命名。方程組各方程式分別代表質量守恆（連續性）、動量守恆及能量守恆，對應零黏性及無熱傳導 項的納維-斯托克斯方程式 。歷史上，只有連續性及動量方程式是由歐拉所推導的。然而，流體動力學的文獻常把全組方程式——包括能量方程式——稱為「歐拉方程式」[ 1]
跟納維－斯托克斯方程式一樣，歐拉方程式一般有兩種寫法：「守恆 形式」及「非守恆形式」。守恆形式強調物理解釋，即方程式是通過一空間中某固定體積的守恆定律；而非守恆形式則強調該體積跟流體運動時的變化狀態。
歐拉方程式可被用於可壓縮性 流體，同時也可被用於非壓縮性 流體——這時應使用適當的狀態方程式 ，或假設流速 的散度 為零。
本條目假設經典力學 適用；當可壓縮流的速度接近光速時，詳見相對論性歐拉方程式 。
第一份印有歐拉方程式的出版物是歐拉的論文《流體運動的一般原理》（Principes généraux du mouvement des fluides），發表於1757年，刊載於《柏林科學院論文集》（Mémoires de l'Academie des Sciences de Berlin）。它們是最早被寫下來的一批偏微分方程式 。在歐拉發表他的研究之時，方程組只有動量方程式及連續性方程式 ，因此只能完整描述非壓縮性流體；在描述可壓縮性流體時，會因條件不足而不能提供唯一解。在1816年，皮埃爾-西蒙·拉普拉斯 添加了一條方程式，第三條方程式後來被稱為絕熱條件 。
在十九世紀的後半期，科學家們發現，與能量守恆相關的方程式在任何時間都得被遵守，而絕熱條件則只會在有平滑解的情況下會被遵守，因為該條件是由平滑解時的基礎定律所造成的後果。在發現了狹義相對論 之後，能量密度、質量密度及應力這三個概念，被統一成應力-能量張量 這一個概念；而能量及動量也同樣被統一成一個概念——能量-動量張量 [ 2]
以下是用微分形式 寫成的歐拉方程式：
∂
ρ
∂
t
+
∇
⋅
(
ρ
u
)
=
0
∂
ρ
u
∂
t
+
∇
⋅
(
u
⊗
(
ρ
u
)
)
+
∇
p
=
0
∂
E
∂
t
+
∇
⋅
(
u
(
E
+
p
)
)
=
0
,
{\displaystyle {\begin{aligned}&{\partial \rho \over \partial t}+\nabla \cdot (\rho \mathbf {u} )=0\\[1.2ex]&{\partial \rho {\mathbf {u} } \over \partial t}+\nabla \cdot (\mathbf {u} \otimes (\rho \mathbf {\mathbf {u} } ))+\nabla p=0\\[1.2ex]&{\partial E \over \partial t}+\nabla \cdot (\mathbf {u} (E+p))=0,\end{aligned}}}
其中
ρ 為流體的質量密度 ；u 為流體速度 向量 ，分量為u 、v 及w ；E = ρ e + ½ ρ ( u2 + v2 + w2 ) 為每一單位容量 所含的總能量 ，其中e 為流體每一單位容量所含的內能 ；p 為壓力；
⊗
{\displaystyle \otimes }
張量積 。第二條方程式包含了一並矢積 的散度 ，用下標標記（每一個j代表從1至3）表示會較易明白：
∂
(
ρ
u
j
)
∂
t
+
∑
i
=
1
3
∂
(
ρ
u
i
u
j
)
∂
x
i
+
∂
p
∂
x
j
=
0
,
{\displaystyle {\partial (\rho u_{j}) \over \partial t}+\sum _{i=1}^{3}{\partial (\rho u_{i}u_{j}) \over \partial x_{i}}+{\partial p \over \partial x_{j}}=0,}
其中i及j下標各代表直角座標系 的三個分量：( x1 , x2 , x3 ) = ( x , y , z ) 及( u1 , u2 , u3 ) = ( u , v , w ) 。
注意以上方程式是用守恆形式 的，而守恆形式強調的是方程式的物理起因（因此在計算流體力學 中的電腦模擬上使用這種形式最方便）。而代表動量守恆的第二條方程式可用非守恆形式表示：
ρ
(
∂
∂
t
+
u
⋅
∇
)
u
+
∇
p
=
0
{\displaystyle \rho \left({\frac {\partial }{\partial t}}+{\mathbf {u} }\cdot \nabla \right){\mathbf {u} }+\nabla p=0}
但是在這個形式上，會比較看不出歐拉方程式與牛頓第二運動定律 的直接關聯。
以下是用向量 及守恆形式寫成的歐拉方程式：
∂
m
∂
t
+
∂
f
x
∂
x
+
∂
f
y
∂
y
+
∂
f
z
∂
z
=
0
,
{\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {m} }{\partial t}}+{\frac {\partial \mathbf {f} _{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial \mathbf {f} _{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial \mathbf {f} _{z}}{\partial z}}=0,}
其中
m
=
(
ρ
ρ
u
ρ
v
ρ
w
E
)
;
{\displaystyle {\mathbf {m} }={\begin{pmatrix}\rho \\\rho u\\\rho v\\\rho w\\E\end{pmatrix}};}
f
x
=
(
ρ
u
p
+
ρ
u
2
ρ
u
v
ρ
u
w
u
(
E
+
p
)
)
;
f
y
=
(
ρ
v
ρ
u
v
p
+
ρ
v
2
ρ
v
w
v
(
E
+
p
)
)
;
f
z
=
(
ρ
w
ρ
u
w
ρ
v
w
p
+
ρ
w
2
w
(
E
+
p
)
)
.
{\displaystyle {\mathbf {f} _{x}}={\begin{pmatrix}\rho u\\p+\rho u^{2}\\\rho uv\\\rho uw\\u(E+p)\end{pmatrix}};\qquad {\mathbf {f} _{y}}={\begin{pmatrix}\rho v\\\rho uv\\p+\rho v^{2}\\\rho vw\\v(E+p)\end{pmatrix}};\qquad {\mathbf {f} _{z}}={\begin{pmatrix}\rho w\\\rho uw\\\rho vw\\p+\rho w^{2}\\w(E+p)\end{pmatrix}}.}
在這個形式下，不難看出f x f y f z
以上方程式分別代表質量守恆 、動量的三個分量及能量。裏面有五條方程式，六個未知數。封閉系統需要一條狀態方程式 ；最常用的是理想氣體定律（即p = ρ (γ−1) e ，其中ρ 為密度，γ 為絕熱指數 ，e 為內能）。
注意能量方程式的奇特形式；見藍金-雨果尼厄方程式 。附加含p 的項可被詮釋成相鄰的流體元對某流體元所作的機械功。在非壓縮性流體中，這些附加項的總和為零。
取流線 上歐拉方程式的積分，假設密度不變，及狀態方程式具有足夠的剛性，可得有名的白努利定律 。
在構建數值解 ，例如求雷曼問題 的近似 解的時候，展開通量 可以是很重要的一環。使用上面以向量表示的守恆形式方程式，展開其通量可得非守恆形式如下：
∂
m
∂
t
+
A
x
∂
m
∂
x
+
A
y
∂
m
∂
y
+
A
z
∂
m
∂
z
=
0.
{\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {m} }{\partial t}}+\mathbf {A} _{x}{\frac {\partial \mathbf {m} }{\partial x}}+\mathbf {A} _{y}{\frac {\partial \mathbf {m} }{\partial y}}+\mathbf {A} _{z}{\frac {\partial \mathbf {m} }{\partial z}}=0.}
其中A x A y A z 雅可比矩陣 ，各矩陣 為：
A
x
=
∂
f
x
(
s
)
∂
s
,
A
y
=
∂
f
y
(
s
)
∂
s
,
A
z
=
∂
f
z
(
s
)
∂
s
.
{\displaystyle \mathbf {A} _{x}={\frac {\partial \mathbf {f} _{x}(\mathbf {s} )}{\partial \mathbf {s} }},\qquad \mathbf {A} _{y}={\frac {\partial \mathbf {f} _{y}(\mathbf {s} )}{\partial \mathbf {s} }},\qquad \mathbf {A} _{z}={\frac {\partial \mathbf {f} _{z}(\mathbf {s} )}{\partial \mathbf {s} }}.}
上式中這些通量雅可比矩陣A x A y A z m 的函數，因此這種形式的歐拉方程式跟原方程式一樣，都是非線性方程式。在狀態向量m 平滑變動的區間內，這種非守恆形式跟原來守恆形式的歐拉方程式是相同的。
將理想氣體定律 用作狀態方程式 ，可推導出完整的雅可比矩陣形式，矩陣如下[ 3]
理想氣體的通量雅可比矩陣
x 方向的通量雅可比矩陣：
A
x
=
[
0
1
0
0
0
γ
^
H
−
u
2
−
a
2
(
3
−
γ
)
u
−
γ
^
v
−
γ
^
w
γ
^
−
u
v
v
u
0
0
−
u
w
w
0
u
0
u
[
(
γ
−
2
)
H
−
a
2
]
H
−
γ
^
u
2
−
γ
^
u
v
−
γ
^
u
w
γ
u
]
.
{\displaystyle \mathbf {A} _{x}=\left[{\begin{array}{c c c c c}0&1&0&0&0\\{\hat {\gamma }}H-u^{2}-a^{2}&(3-\gamma )u&-{\hat {\gamma }}v&-{\hat {\gamma }}w&{\hat {\gamma }}\\-uv&v&u&0&0\\-uw&w&0&u&0\\u[(\gamma -2)H-a^{2}]&H-{\hat {\gamma }}u^{2}&-{\hat {\gamma }}uv&-{\hat {\gamma }}uw&\gamma u\end{array}}\right].}
y 方向的通量雅可比矩陣：
A
y
=
[
0
0
1
0
0
−
v
u
v
u
0
0
γ
^
H
−
v
2
−
a
2
−
γ
^
u
(
3
−
γ
)
v
−
γ
^
w
γ
^
−
v
w
0
w
v
0
v
[
(
γ
−
2
)
H
−
a
2
]
−
γ
^
u
v
H
−
γ
^
v
2
−
γ
^
v
w
γ
v
]
.
{\displaystyle \mathbf {A} _{y}=\left[{\begin{array}{c c c c c}0&0&1&0&0\\-vu&v&u&0&0\\{\hat {\gamma }}H-v^{2}-a^{2}&-{\hat {\gamma }}u&(3-\gamma )v&-{\hat {\gamma }}w&{\hat {\gamma }}\\-vw&0&w&v&0\\v[(\gamma -2)H-a^{2}]&-{\hat {\gamma }}uv&H-{\hat {\gamma }}v^{2}&-{\hat {\gamma }}vw&\gamma v\end{array}}\right].}
z 方向的通量雅可比矩陣：
A
z
=
[
0
0
0
1
0
−
u
w
w
0
u
0
−
v
w
0
w
v
0
γ
^
H
−
w
2
−
a
2
−
γ
^
u
−
γ
^
v
(
3
−
γ
)
w
γ
^
w
[
(
γ
−
2
)
H
−
a
2
]
−
γ
^
u
w
−
γ
^
v
w
H
−
γ
^
w
2
γ
w
]
.
{\displaystyle \mathbf {A} _{z}=\left[{\begin{array}{c c c c c}0&0&0&1&0\\-uw&w&0&u&0\\-vw&0&w&v&0\\{\hat {\gamma }}H-w^{2}-a^{2}&-{\hat {\gamma }}u&-{\hat {\gamma }}v&(3-\gamma )w&{\hat {\gamma }}\\w[(\gamma -2)H-a^{2}]&-{\hat {\gamma }}uw&-{\hat {\gamma }}vw&H-{\hat {\gamma }}w^{2}&\gamma w\end{array}}\right].}
其中
γ
^
=
γ
−
1
{\displaystyle {\hat {\gamma }}=\gamma -1}
總焓 H 為：
H
=
E
ρ
+
p
ρ
,
{\displaystyle H={\frac {E}{\rho }}+{\frac {p}{\rho }},}
及聲速 a 為：
a
=
γ
p
ρ
=
(
γ
−
1
)
[
H
−
1
2
(
u
2
+
v
2
+
w
2
)
]
.
{\displaystyle a={\sqrt {\frac {\gamma p}{\rho }}}={\sqrt {(\gamma -1)\left[H-{\frac {1}{2}}\left(u^{2}+v^{2}+w^{2}\right)\right]}}.}
將含通量雅可比矩陣的非守恆形式，在狀態m m 0 的周圍線性化後，可得線性化歐拉方程式如下：
∂
m
∂
t
+
A
x
,
0
∂
m
∂
x
+
A
y
,
0
∂
m
∂
y
+
A
z
,
0
∂
m
∂
z
=
0
,
{\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {m} }{\partial t}}+\mathbf {A} _{x,0}{\frac {\partial \mathbf {m} }{\partial x}}+\mathbf {A} _{y,0}{\frac {\partial \mathbf {m} }{\partial y}}+\mathbf {A} _{z,0}{\frac {\partial \mathbf {m} }{\partial z}}=0,}
其中A x,0 A y,0 A z,0 A x A y A z m m 0 的值。
如果棄用守恆變量而改用特徵變量 的話，歐拉方程式可被變換成非耦合波 方程式。舉例說，考慮以線性通量雅可比矩陣形式表示的一維（1-D）歐拉方程式：
∂
m
∂
t
+
A
x
,
0
∂
m
∂
x
=
0.
{\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {m} }{\partial t}}+\mathbf {A} _{x,0}{\frac {\partial \mathbf {m} }{\partial x}}=0.}
矩陣A x,0 對角化 ，即可將其分解成：
A
x
,
0
=
P
Λ
P
−
1
,
{\displaystyle \mathbf {A} _{x,0}=\mathbf {P} \mathbf {\Lambda } \mathbf {P} ^{-1},}
P
=
[
r
1
,
r
2
,
r
3
]
=
[
1
1
1
u
−
a
u
u
+
a
H
−
u
a
1
2
u
2
H
+
u
a
]
,
{\displaystyle \mathbf {P} =\left[\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2},\mathbf {r} _{3}\right]=\left[{\begin{array}{c c c}1&1&1\\u-a&u&u+a\\H-ua&{\frac {1}{2}}u^{2}&H+ua\\\end{array}}\right],}
Λ
=
[
λ
1
0
0
0
λ
2
0
0
0
λ
3
]
=
[
u
−
a
0
0
0
u
0
0
0
u
+
a
]
.
{\displaystyle \mathbf {\Lambda } ={\begin{bmatrix}\lambda _{1}&0&0\\0&\lambda _{2}&0\\0&0&\lambda _{3}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}u-a&0&0\\0&u&0\\0&0&u+a\\\end{bmatrix}}.}
上式中，r 1 r 2 r 3 A x,0 特徵向量 （若
A
x
R
=
λ
R
x
R
,
{\displaystyle Ax_{R}=\lambda _{R}x_{R},\ }
x_R 為右特徵向量），而λ1 、λ2 及λ3 則為對應的特徵值 。
設特徵變量為：
w
=
P
−
1
m
,
{\displaystyle \mathbf {w} =\mathbf {P} ^{-1}\mathbf {m} ,}
由於A x,0 P −1 後可得：
∂
w
∂
t
+
Λ
∂
w
∂
x
=
0
{\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {w} }{\partial t}}+\mathbf {\Lambda } {\frac {\partial \mathbf {w} }{\partial x}}=0}
經過這樣的處理後，方程式實際上已經被非耦合 化，而且可被視作三條波方程式，其中特徵值為波速。變量w i 為雷曼不變量，或在一般的雙曲系統中為特徵變量。
歐拉方程式為非線性 雙曲 方程式，而它們的通解為波 。與海浪 一樣，由歐拉方程式所描述的波碎 掉後，所謂的衝擊波 就會形成；這是一種非線性效應，所以其解為多值函數 （即函數內的某自變量會產生多個因變量）。物理上這代表構建微分方程式時所用的假設已經崩潰，如果要從方程式上取得更多資訊，就必須回到更基礎的積分形式。然後，在構建弱解 時，需要使用藍金-雨果尼厄衝擊波條件 ，在流動的物理量中避開不連續點「跳躍」，上述物理量有密度、速度、壓力及熵。物理量很少會出現不連續性；在現實的流動中，黏性會把這些不連續點平滑化。
許多領域都有研究衝擊波的傳播，尤其是出現流動處於足夠高速的領域，例如空氣動力學 及火箭推進 。
在某些問題中，特別是分析導管中的可壓縮流，或是當流動呈圓柱或球狀對稱的時候，一維歐拉方程式都是很有用的近似法。一般來說，解歐拉方程式會用到黎曼 的特徵線法 。首先需要找出特徵線，這條曲線位於兩個獨立變量（即x 及t ）所構成的平面上，在這條線上偏微分方程式 （PDE）會退化成常微分方程式 （ODE）。歐拉方程式的數值解法 非常倚賴特徵線法。
Batchelor, G. K. An Introduction to Fluid Dynamics. Cambridge University Press. 1967. ISBN 0521663962 Thompson, Philip A. Compressible Fluid Flow. New York: McGraw-Hill. 1972. ISBN 0070644055 Toro, E.F. Riemann Solvers and Numerical Methods for Fluid Dynamics. Springer-Verlag. 1999. ISBN 3-540-65966-8
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{\partial \rho \over \partial t}+\nabla \cdot (\rho \mathbf {u} )=0\\[1.2ex]&{\partial \rho {\mathbf {u} } \over \partial t}+\nabla \cdot (\mathbf {u} \otimes (\rho \mathbf {\mathbf {u} } ))+\nabla p=0\\[1.2ex]&{\partial E \over \partial t}+\nabla \cdot (\mathbf {u} (E+p))=0,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/719655fccdf7f1f48ae8f9f333070347b9f535ff)
![{\displaystyle \mathbf {A} _{x}=\left[{\begin{array}{c c c c c}0&1&0&0&0\\{\hat {\gamma }}H-u^{2}-a^{2}&(3-\gamma )u&-{\hat {\gamma }}v&-{\hat {\gamma }}w&{\hat {\gamma }}\\-uv&v&u&0&0\\-uw&w&0&u&0\\u[(\gamma -2)H-a^{2}]&H-{\hat {\gamma }}u^{2}&-{\hat {\gamma }}uv&-{\hat {\gamma }}uw&\gamma u\end{array}}\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea1cadcc914126f3e4b6a0d43b2b692306a49e0c)
![{\displaystyle \mathbf {A} _{y}=\left[{\begin{array}{c c c c c}0&0&1&0&0\\-vu&v&u&0&0\\{\hat {\gamma }}H-v^{2}-a^{2}&-{\hat {\gamma }}u&(3-\gamma )v&-{\hat {\gamma }}w&{\hat {\gamma }}\\-vw&0&w&v&0\\v[(\gamma -2)H-a^{2}]&-{\hat {\gamma }}uv&H-{\hat {\gamma }}v^{2}&-{\hat {\gamma }}vw&\gamma v\end{array}}\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/59565c52e2e43c8718b80ea189386e06caf659dc)
![{\displaystyle \mathbf {A} _{z}=\left[{\begin{array}{c c c c c}0&0&0&1&0\\-uw&w&0&u&0\\-vw&0&w&v&0\\{\hat {\gamma }}H-w^{2}-a^{2}&-{\hat {\gamma }}u&-{\hat {\gamma }}v&(3-\gamma )w&{\hat {\gamma }}\\w[(\gamma -2)H-a^{2}]&-{\hat {\gamma }}uw&-{\hat {\gamma }}vw&H-{\hat {\gamma }}w^{2}&\gamma w\end{array}}\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c7bada4ec757d1aec3bef39fbceba93e17ffbcb8)
![{\displaystyle a={\sqrt {\frac {\gamma p}{\rho }}}={\sqrt {(\gamma -1)\left[H-{\frac {1}{2}}\left(u^{2}+v^{2}+w^{2}\right)\right]}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d981fcd3ad170a2cb66edcb1c77acbc06db381d)
![{\displaystyle \mathbf {P} =\left[\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2},\mathbf {r} _{3}\right]=\left[{\begin{array}{c c c}1&1&1\\u-a&u&u+a\\H-ua&{\frac {1}{2}}u^{2}&H+ua\\\end{array}}\right],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ef545bc918d0bfe1ee33125484f1ac4c372a6e9)
