中一新生之梦

Freshman's dream（中文可译“新手之梦”）指的是错误方程式“$(x+y)^{n}$ = $x^{n}+y^{n}$”，当中 $n$ 是一个实数（通常是大于1的正整数）。初阶学生经常误以为括号外的次方可以直接分配给括号内的项。其实只要假设 $n=2$ 就可以简单发现方程式并不成立：透过乘法分配律，$(x+y)^{2}=x^{2}+2xy+y^{2}$。至于 $n$ 值更大的方程式，则可以使用二项式定理计算正确答案。

形象化表达“Freshman's dream”的错误之处：上图的正方形边长为X+Y，正方形总面积为黄色正方形（=X²）、绿色正方形（=Y²)，以及两个常被忽略的白色长方形（=2×X×Y）。

在热带几何的世界，加法取代了乘法，而极值取代了加法。在此情况下，“Freshman's dream”便是正确。

“Freshman's dream”也可代指另一项定理，$(x+y)^{p}=x^{p}+y^{p}$，当中 $p$ 是质数，而 $x$ 和 $y$ 是在具有 $p$ 特征的交换环上的代数。由于 $p$ 能够整除首项和末项以外的二项式系数，使中间的所有项都等于零，所以这个“错误”实际上可以做到正确答案。

历史与别名

1940年一篇有关模曲线的文章中，桑德斯·麦克兰恩引用斯蒂芬·科尔·克莱尼指出，特征为2的体中的公式“$(a+b)^{2}=a^{2}+b^{2}$”，有可能破坏中一新生的代数观念。此为可追溯的最早将“中一新生之梦”与正特征体的二项式展开公式连系起来的言论，自此大部分代数课本都提及这个惯常误解，其中1974年汤马士·亨嘉福的代数课本似乎是首次使用“Freshman's dream”一词。别名包括1998年庄·法黎课本中的“Freshman exponentiation”（中文可译“中一新生之幂”）；又鉴于$(x+y)^{n}$可透过二项式定理计算，因而又被称为“小孩的二项式定理”（Child's binomial theorem）或“中学生的二项式定理”（Schoolboy binomial theorem）。

至于“Freshman's dream”一词则自19世纪起已在非数学范畴使用。

例子

• $(1+4)^{2}=5^{2}=25$，但$1^{2}+4^{2}=17$.
• $(x^{2}+y^{2})^{\frac {1}{2}}$（即 ${\sqrt {x^{2}+y^{2}}}$ ）在大多数情况下都不等于${\sqrt {x^{2}}}+{\sqrt {y^{2}}}=|x|+|y|$。例如：${\sqrt {3^{2}+4^{2}}}={\sqrt {25}}=5$，而$3+4=7$。

质数定理

当 $p$ 是质数，而 $x$ 和 $y$ 是在具有 $p$ 特征的交换环上的代数，那么 $(x+y)^{p}=x^{p}+y^{p}$。此理论可透过研究二项式系数的质数因数而论证：

第 n 个二项式系数为 ${\binom {p}{n}}={\frac {p!}{n!(p-n)!}}$。

由于分子是 $p$ 的阶乘，所以可以被 $p$ 整除。不过当 $0<n<p$ 之时，$n!$ 和 $(p-n)!$ 都少于 $p$，因而两者都不能被整除。但二项式系数必然是整数，因此第 n 个二项式系数可被 $p$ 整除，交换环继而等于零。自此整条方程式只剩下第0个和第 p 个二项式系数，因此可证 $(x+y)^{p}=x^{p}+y^{p}$。结果也证明 p 次方制造了自同态，又称交换环的弗罗贝尼乌斯自同态。

在此方程中，$p$ 必须是质数才可成立。有一相类近的定理指出，当 $p$ 是质数的话，在$\mathbb {Z} _{p}[x]$多项式环中，$(x+1)^{p}\equiv x^{p}+1$。此定理成为现代质数测试中的关键。

参见

• 一年级生
• 素性测试
• 弗罗贝尼乌斯自同态
• 二年级之梦