二十四面体

24個面的多面體

几何学中,二十四面体是指有24个面的多面体[3],在二十四面体当中没有任何一个形状是正多面体,换言之即正二十四面体并不存在,但仍有许多由正多边形组成的二十四面体,例如三侧锥正十二面体英语Triaugmented dodecahedron五角锥球状屋顶,也有一些接近球状但并非由正多边形组成的二十四面体,其中对称性较高的是三角化八面体和鸢形二十四面体等卡塔兰立体、对称性较低的是部分詹森多面体对偶多面体,例如双四角帐塔反角柱英语Gyroelongated square bicupola的对偶和异相双四角帐塔柱的对偶。此外要构成二十四面体至少要有14个顶点[4]

二十四面体
部分的二十四面体
一种星形二十四面体[1][2]
一种星形二十四面体[1][2]
四角化六面体
四角化六面体
伪鸢形二十四面体(英语:Pseudo-deltoidal icositetrahedron)
伪鸢形二十四面体英语Pseudo-deltoidal icositetrahedron
三侧锥正十二面体
三侧锥正十二面体

常见的二十四面体

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常见的二十四面体中有一些柱体锥体以及部份的詹森多面体卡塔兰立体

二十三角锥

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二十三角锥是一种底面为二十三边形的锥体,为二十四面体的一种,具有24个面、46条边和24个顶点,其对偶多面体是自己本身[5]。正二十三角锥是一种底面为正二十三边形的二十三角锥,在施莱夫利符号中可以用{}∨{23}来表示。底边长为 、高为 的正二十三角锥体积 和表面积 [5]

 
 

二十二角柱

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二十二角柱是一种底面为二十二边形的柱体,是二十四面体的一种,由24个面和66条边和44个顶点组成。正二十二角柱代表每个面都是正多边形的二十二角柱,其每个顶点都是2个正方形和1个二十二边形的公共顶点,顶点图 表示。其在施莱夫利符号中可以用{22}×{}或t{2,22}来表示,在考克斯特符号英语Coxeter-Dynkin diagram中可以用      来表示,在威佐夫符号英语Wythoff symbol中可以利用2 22 | 2来表示,在康威多面体表示法中可以利用P22来表示。底边长为 、高为 的正二十二角柱体积 和表面积 [6]

 
 

十一角反棱柱

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十一角反棱柱

十一角反棱柱是指底面为十一边形反棱柱,由24个面、44条边和22个顶点组成。正十一角反棱柱代表每个面都是正多边形的十一角反棱柱,其每个顶点都是3个三角形和1个十一边形的公共顶点,顶点图以3.3.3.11表示。

十二方偏方面体

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十二方偏方面体是一种以十二边形为底的偏方面体,由24个全等的鸢形组成,为十二角反角柱的对偶多面体[7],同时也是鸢形多面体,是偏方面体系列的第十个成员。所有十二方偏方面体都有24个、48条和26个顶点[7],其中,顶点有两种,分别为12个鸢形的公共顶点和3个鸢形的公共顶点。

十二方偏方面体是一个等面图形,即面可递多面体,其所有面都相等。更具体来说,其不仅所有面都全等,且面与面必须能在其对称性上传递,也就是说,面必须位于同一个对称性轨道内。这种凸多面体是能做成公正的骰子的形状。[8]

十二方偏方面体在施莱夫利符号中可以用{ }⨁{12}来表示,在考克斯特符号中可以用           来表示,在康威多面体表示法中可以用dA12来表示。

詹森多面体

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在二十四面体中,有2个是詹森多面体,它们分别为:五角锥球状屋顶三侧锥正十二面体英语Triaugmented dodecahedron

名称 种类 图像 编号 顶点 面的种类 对称性 展开图
五角锥球状屋顶 球状屋顶变体   J90 16 38 24 20个正三角形 
4个正方形 
D2d  
三侧锥正十二面体英语Triaugmented dodecahedron 侧锥正多面体   J61 23 45 24 15个正三角形 
9个五边形 
C3v  

卡塔兰立体

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在二十四面体中,有5种拓朴结构明显不同的卡塔兰立体[9],分别为三角化八面体四角化六面体、鸢形二十四面体和五角化二十四面体,其中五角化二十四面体具有2个手性镜像,因此几何上只包含了四种不同的卡塔兰立体。

名称 图像 展开图 对偶 顶点 顶点布局 点群
三角化八面体  
(动画)
  截角立方体 24 36 14 等腰三角形
V3.8.8
Oh
四角化六面体  
(动画)
  截角八面体 24 36 14 等腰三角形
V4.6.6
Oh
鸢形二十四面体  
(动画)
  小斜方截半立方体 24 48 26 鸢形
V3.4.4.4
Oh
五角二十四面体
(有两种手性镜像)
 
(动画)
 
(动画)
  扭棱立方体 24 60 38 不等边五边形
V3.3.3.3.4
O群

均匀星形多面体

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部分的均匀星形多面体也具有24个面:

名称 图像 威佐夫
符号
英语Wythoff symbol
顶点图 对称性 C# W# U# K# 顶点 欧拉 密度英语Density_(polytope) 面种类
双三斜十二面体   3 | 5/3 5  
(5/3.5)3
Ih C53 W080 U41 K46 20 60 24 -16 4 12{5}+12{5/2}
截半大十二面体   3 | 5/3 5  
(5/3.5)3
Ih C53 W080 U41 K46 20 60 24 -16 4 12{5}+12{5/2}
截角大十二面体   2 5/2 | 5  
10.10.5/2
Ih C47 W075 U37 K42 60 90 24 -6 3 12{5/2}+12{10}
小星形截角十二面体   2 5 | 5/3  
10/3.10/3.5
Ih C74 W097 U58 K63 60 90 24 -6 9 12{5}+12{10/3}

二十四面体列表

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名称 种类 图像 符号 顶点 χ 面的种类 对称性 展开图
二十二角柱 棱柱体 t{2,22}
{22}x{}
      
44 66 24 2 2个二十二边形英语Icosidigon
22个矩形
D22h, [22,2], (*22 2 2), order 88
二十三角锥 棱锥体 ( )∨{23} 24 46 24 2 1个二十三边形日语二十三角形
23个三角形
C23v, [23], (*23 23)
二十二角锥台 锥台 44 66 24 2 2个二十二边形
22个梯形
D22h, [22,2], (*22 2 2), order 88
双十二角锥 双锥体 { } + {12}
     
14 36 24 2 12个三角形  D12h, [12,2], (*2 2 12), order 48
十二方偏方面体 偏方面体   { }⨁{12}[10]:235 26 48 24 2 24个鹞形 D12d, [2+,12], (2*12)
十一角反棱柱 反棱柱   s{2,22}
sr{2,11}
      
     
22 44 24 2 2个十一边形
22个三角形
D11d, [2+,22], (2*11), order 44
十一角帐塔 帐塔 33 55 24 2 11个正三角形 
11个正方形 
1个正十一边形 
1个正二十二边形 
D11d, [2+,22], (2*11), 44阶
异相双四角
帐塔柱的对偶

伪鸢形二十四面体[11]
詹森多面体对偶   26 48 24 2 24个鸢形  D4d  

参见

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参考文献

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  1. ^ Isohedron 24k. loki3.com. [2016-08-29]. (原始内容存档于2019-02-18). 页面存档备份,存于互联网档案馆
  2. ^ The Isometric Crystal System. metafysica.nl. [2016-08-29]. (原始内容存档于2018-11-29). 页面存档备份,存于互联网档案馆
  3. ^ Weisstein, Eric W. (编). Icositetrahedron. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. (英语). 
  4. ^ Counting polyhedra. numericana.com. [2016-01-10]. (原始内容存档于2020-08-20). 页面存档备份,存于互联网档案馆
  5. ^ 5.0 5.1 Wolfram, Stephen. "Icositrigonal pyramid". from Wolfram Alpha: Computational Knowledge Engine, Wolfram Research (英语). 
  6. ^ Wolfram, Stephen. "Icosidigonal prism". from Wolfram Alpha: Computational Knowledge Engine, Wolfram Research (英语). 
  7. ^ 7.0 7.1 Wolfram, Stephen. "12-trapezohedron". from Wolfram Alpha: Computational Knowledge Engine, Wolfram Research (英语). 
  8. ^ McLean, K. Robin, Dungeons, dragons, and dice, The Mathematical Gazette, 1990, 74 (469): 243–256, JSTOR 3619822, doi:10.2307/3619822 .
  9. ^ Eugène Catalan Mémoire sur la Théorie des Polyèdres. J. l'École Polytechnique (Paris) 41, 1-71, 1865.
  10. ^ Johnson, N.W. Chapter 11: Finite symmetry groups. Geometries and Transformations. 2018. ISBN 978-1-107-10340-5. 
  11. ^ George Hart. pseudo-rhombicuboctahedra. georgehart.com. [2017-07-22]. (原始内容存档于2012-12-08). 页面存档备份,存于互联网档案馆

外部链接

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