代数数论中,二次域是在有理数上次数为二的数域。二次域可以唯一地表成,其中无平方数因数。若,称之为实二次域;否则称为虚二次域复二次域。虚实之分在于是否为全实域

二次域的 研究肇源甚早,起初是作为二次型理论的一支。二次域是代数数论的基本对象之一,虽然如此,至今仍有一些未解猜想,如类数问题

整数环与判别式

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二次域 里的整数环 定义为该域中的代数整数。当 时,整数环可描述为 ,否则为 。当 时,这些整数称为高斯整数,当 时,称为艾森斯坦整数

根据上述描述, 判别式不难计算:当 时判别式为 ,否则则为 

二次域上的分歧理论

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  素数。数论关注的问题是 如何在 中分解成素理想之积。根据数域的分歧理论,应考虑以下情形:

  •  是惯性的: 仍为素理想,此时 
  •  分裂: 为两个相异素理想之积,此时 
  •  分歧: 为某个素理想之平方,此时 含有非零的幂零元。

根据之前对判别式的计算,可知 分歧当且仅当 整除 的判别式(  ,取决于 );对其馀无穷多个素数,前两个情形皆会发生,而且其机率在某种意义上相等。

素p分圆域和二次域

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分圆域素p(p>2)次根群所产生二次子域,也是伽罗瓦理论(埃瓦里斯特·伽罗瓦)的一个结论,在有理域上有惟一指数2Galois子群,,二次域特例d=-1时成称高斯整环,有判别式p的p=4N+1-P,P = 4N +3才有素分解高斯整环分歧条件叫高斯周期(Gaussian period)。

其他的分圆域

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如果一个分圆域,他们有额外的2-扭伽罗瓦群,那么就至少包含三个二次域。一般通过分圆域二次子域判别式D的可以得到D次单位根组成的子域(D-th roots of unity)。这表示一个事实,即二次域的前导子(conductor) 是判别式D的绝对赋值 (value) 。

参考文献

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