二项式定理
二项式定理(英语:Binomial theorem)描述了二项式的幂的代数展开。根据该定理,可以将两个数之和的整数次幂诸如展开为类似项之和的恒等式,其中、均为非负整数且。系数是依赖于和的正整数。当某项的指数为0时,通常略去不写。例如:[1]
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历史
编辑二项式系数的三角形排列通常被认为是法国数学家布莱兹·帕斯卡的贡献,他在17世纪描述了这一现象[3]。但早在他之前,就曾有数学家进行类似的研究。例如,古希腊数学家欧几里得于公元前4世纪提到了指数为2的情况[4][5]。公元前三世纪,印度数学家青目探讨了更高阶的情况。帕斯卡三角形的雏形于10世纪由印度数学家大力罗摩发现。在同一时期,波斯数学家卡拉吉[6]和数学家兼诗人欧玛尔·海亚姆得到了更为普遍的二项式定理的形式。13世纪,中国数学家杨辉也得到了类似的结果[7]。卡拉吉用数学归纳法的原始形式给出了二项式定理和帕斯卡三角形(巴斯卡三角形)的有关证明[6]。艾萨克·牛顿勋爵将二项式定理的系数推广到有理数[8]。
定理的陈述
编辑根据此定理,可以将 的任意次幂展开成和的形式
其中每个 为一个称作二项式系数的特定正整数,其等于 。这个公式也称二项式公式或二项恒等式。使用求和符号,可以把它写作
后面的表达式只是将根据 与 的对称性得出的,通过比较发现公式中的二项式系数也是对称的。 二项式定理的一个变形是用 1 来代换 得到的,所以它只涉及一个变量。在这种形式中,公式写作
或者等价地
几何释义
编辑对于正值 和 ,二项式定理,在 时是在几何上的明显事实,边为 的正方形,可以切割成1个边为 的正方形,1个边为 的正方形,和2个边为 和 的长方形。对于 ,定理陈述了边为 的立方体,可以切割成1个边为 的立方体,1个边为 的立方体,3个 长方体,和3个 长方体。
在微积分中,此图解也给出导数 的几何证明[9]。设 且 ,将 解释为 的无穷小量改变,则此图解将无穷小量改变,显示为 维超立方体 :
其中(针对 的)线性项的系数是 ,将公式代入采用差商的导数定义并取极限,意味着忽略高阶项 和更高者,产生公式: 。若再进行积分,这对应于应用微积分基本定理,则得到卡瓦列里求积公式: 。
证明
编辑当 ,
假设二项展开式在 时成立。若 ,
组合方法
编辑考虑 ,共7个括号相乘,从7个括号选出其中的4个括号中的 ,再从剩馀的3个括号中选出3个 相乘,便得一组 ,而这样的选法共有 种,故总共有 个 ;其他各项同理。
同理, ,共 个括号相乘,从 个括号选出其中的 个括号中的 ,再从剩馀的 个括号中选出 个 相乘,便得一组 ,而这样的选法共有 种,故总共有 个 ;其他各项同理。
不尽相异物排列方法
编辑考虑 ,每一个括号可以出 或出 ,而最后要有4个 、3个 相乘,这形同 的“不尽相异物排列”,其方法数为 ,恰好等于 ;其他各项同理。
同理, ,每一个括号可以出 或出 ,而最后要有 个 、 个 相乘,这形同 的“不尽相异物排列”,其方法数为 ,恰好等于 ;其他各项同理。
一般形式的证明
编辑通常二项式定理可以直接使用泰勒公式进行证明. 下面的方法不使用泰勒公式
设 , 。注意只有当 时上述两个函数才收敛
- 首先证明 收敛于 。这里省略
- 之后,易得 满足微分方程︰ 。用求导的一般方法就能得到这个结论,这里省略
- 再证明 亦满足上述微分方程︰
因为
于是
因为
- 根据除法定则,
应用
编辑牛顿以二项式定理作为基础发明出了微积分[10] 。其在初等数学中应用主要在于近似、估计以及证明恒等式等。
证明组合恒等式
编辑二项式定理给出的系数可以视为组合数 的另一种定义。 因此二项式展开与组合数的关系十分密切。 它常常用来证明一些组合恒等式。
- (1)证明
可以考虑恒等式 。 展开等式左边得到: 。 注意这一步使用了有限求和与乘积可以交换的性质。 同时如果展开等式右边可以得到 。 比较两边幂次为 的项的系数可以得到: 。 令 ,并注意到 即可得到所要证明的结论。
- (2)证明
因为
令 ,代入上式,得
多倍角恒等式
编辑在复数中,二项式定理可以与棣莫弗公式结合,成为多倍角公式[11]。根据棣莫弗公式:
通过使用二项式定理,右边的表达式可以扩展为
由棣莫弗公式,实部与虚部对应,能够得出
即二倍角公式。同样,因为
所以藉棣莫弗公式,能够得出
整体而言,多倍角恒等式可以写作
和
e级数
编辑使用二项式定理能得出
第 项之总和为
因为 时,右边的表达式趋近1。因此
推广
编辑该定理可以推广到对任意实数次幂的展开,即所谓的牛顿广义二项式定理:
。其中 。
多项式展开
编辑对于多元形式的多项式展开,可以看做二项式定理的推广:[15][16]
.
证明:
数学归纳法。对元数 做归纳:
当 时,原式为二项式定理,成立。
假设对 元成立,则:
参见
编辑参考文献
编辑- ^ Binomial Expansions - leeds uk (PDF). [2015-04-12]. (原始内容存档 (PDF)于2020-09-19).
- ^ Roman, Steven "The Umbral Calculus", Dover Publications, 2005, ISBN 0-486-44129-3
- ^ Devlin, Keith, The Unfinished Game: Pascal, Fermat, and the Seventeenth-Century Letter that Made the World Modern, Basic Books; 1 edition (2008), ISBN 978-0-465-00910-7, p. 24.
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- ^ Encyclopedic Dictionary of Mathematics 142.D
- ^ 多項式定理的新證明及其展開 - 佛山科学技术学院信息科学与数学系. [2015-04-11]. (原始内容存档于2017-04-13).
- ^ Hazewinkel, Michiel (编), Multinomial coefficient, 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4
参考书目
编辑- Bag, Amulya Kumar. Binomial theorem in ancient India. Indian J. History Sci. 1966, 1 (1): 68–74.
- Barth, Nils R. (November 2004). "Computing Cavalieri's Quadrature Formula by a Symmetry of the n-Cube". The American Mathematical Monthly (Mathematical Association of America) 111 (9): 811–813. doi:10.2307/4145193. ISSN 0002-9890. JSTOR 4145193, author's copy,
- Graham, Ronald; Knuth, Donald; Patashnik, Oren. (5) Binomial Coefficients. Concrete Mathematics 2nd. Addison Wesley. 1994: 153–256. ISBN 0-201-55802-5. OCLC 17649857.
外部链接
编辑- Binomial Theorem(页面存档备份,存于互联网档案馆) - 史蒂芬·沃尔夫勒姆
- "Binomial Theorem (Step-by-Step)"(页面存档备份,存于互联网档案馆) by Bruce Colletti and Jeff Bryant, Wolfram 演示项目, 2007.
- The Binomial Theorem - Interactive Mathematics(页面存档备份,存于互联网档案馆)
- Binomial Expansion - HyperPhysics